電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 480 V の電源から線電流 60 A を流している。力率は遅れ 0.9 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VI_L = 60 Acos φ = 0.9

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 120 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 120 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

単相 100 kVA、6600/230 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。高圧巻線の電流 I_HV を求めよ。

S = 100 kVAV₁ = 6600 VV₂ = 230 V

I_HV = A

4.変圧器むずかしい

単相 100 kVA の変圧器の鉄損は 300 W である。定格負荷、遅れ力率 0.9 での効率は 98% である。全負荷銅損 P_cu,fl を W で求めよ。

S = 100 kVAP_core = 300 Wpf = 0.9η = 98%

P_cu,fl = W

5.交流電力と力率ふつう

インピーダンス Z = 12 + j16 Ω の負荷が 240 V（実効値）の単相電源に接続されている。負荷が消費する無効電力 Q を求めよ。

V = 240 VZ = 12 + j16 Ω

Q = var

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 240 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 10 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。コンデンサが供給すべき無効電力 Q_C を求めよ。

P = 10 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.92V = 240 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコンデンサが並列に、50 V（実効値）、500 Hz の電源に接続されている。インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩC = 2.2 µF

|Z| = Ω

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

抵抗 R₁ が、R₂ とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、100 V（実効値）、100 Hz の電源に接続されている。電流の実効値 I を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 100 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 60 ΩC = 47 µF

I = A

9.直流モーターふつう

直流モーターが 220 V の電源から 40 A を引き込みます。電機子抵抗は 0.4 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 326 W です。効率 η を求めなさい。

V = 220 VI_a = 40 AR_a = 0.4 ΩP_rot = 326 W

η = %

10.直流モーターむずかしい

110 V の直流モーターの電機子抵抗は 0.8 Ω です。始動電流を 10 A に制限する直列の始動抵抗 R_st を求めなさい。

V = 110 VR_a = 0.8 ΩI_max = 10 A

R_st = Ω

3溶液

1.三相電力

答え: P = 44.89 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·480·60 = 49.88 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 49.88·0.9 = 44.89 kW

答え

P = 44.89 kW

2.三相電力

答え: C_ph = 640.6 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 120·tan(acos 0.65) = 120·1.169 = 140.3 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0.98) = 120·0.2031 = 24.37 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 115.9 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 38643/(377·400²) = 640.6 µF

答え

C_ph = 640.6 µF

3.変圧器

答え: I_HV = 15.15 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

定格電流

両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。

I_HV = S/V = 100000/6600 = 15.15 A

答え

I_HV = 15.15 A

4.変圧器

答え: P_cu,fl = 1537 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

出力と入力

P_out = 100·0.9 = 90 kW

P_in = 90000/0.98 = 91837 W

全損失と銅損

P_loss = 91837 − 90000 = 1837 W

P_cu,fl = 1837 − 300 = 1537 W

答え

P_cu,fl = 1537 W

5.交流電力と力率

答え: Q = 2304 var

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

電流

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω

I = V/|Z| = 240/20 = 12 A

無効電力

Q = I²·X = 12²·16 = 2304 var

答え

Q = 2304 var

6.交流電力と力率

答え: Q_C = 3.24 kvar

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(36.87°) = 7.5 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(23.07°) = 4.26 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 3.24 kvar

答え

Q_C = 3.24 kvar

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: |Z| = 47.26 Ω

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 50/50 = 1 A

I_X = V/X_C = 50/144.7 = 0.3456 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(1² + 0.3456²) = 1.058 A

インピーダンス

|Z| = V/I = 50/1.058 = 47.26 Ω

答え

|Z| = 47.26 Ω

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.946 A

リアクタンス

X_C = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Z_p を実部と虚部に分けます。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 14.49 − j25.68 Ω

合成インピーダンス

Z = 30 + 14.49 − j25.68 = 44.49 − j25.68 Ω

|Z| = √(44.49² + 25.68²) = 51.37 Ω

電流

I = V/|Z| = 100/51.37 = 1.946 A

答え

I = 1.946 A

9.直流モーター

答え: η = 89.02 %

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

電力

P_in = 220·40 = 8800 W

P_dev = 204·40 = 8160 W

P_out = 8160 − 326 = 7834 W

効率

η = 7834/8800·100 = 89.02 %

答え

η = 89.02 %

10.直流モーター

答え: R_st = 10.2 Ω

全抵抗

R_a + R_st = 110/10 = 11 Ω

始動抵抗器

R_st = 11 − 0.8 = 10.2 Ω

答え

R_st = 10.2 Ω

抵抗器は、モーターが加速して逆起電力が大きくなるにつれて、段階的に切り離されます。

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