三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
平衡三相負荷が、線間電圧 400 V の電源から線電流 25 A を流している。力率は遅れ 0.8 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 400 VIL = 25 Acos φ = 0.8
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、480 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 100 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
単相 100 kVA、480/240 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。低圧巻線の電流 ILV を求めよ。
S = 100 kVAV1 = 480 VV2 = 240 V
ILV = A
4.変圧器むずかしい
単相 250 kVA の変圧器の鉄損は 1000 W、定格負荷での銅損は 2500 W である。 この変圧器が定格 kVA の 50% を遅れ力率 0.95 で供給している。この負荷での全損失 Ploss を W で求めよ。
S = 250 kVAPcore = 1000 WPcu,fl = 2500 Wx = 0.5pf = 0.95
Ploss = W
5.交流電力と力率ふつう
単相モーターが 240 V の電源から、遅れ力率 0.6 で 38 kW を消費する。 線電流 I を求めよ。
P = 38 kWpf = 0.6V = 240 V
I = A
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 240 V、60 Hz の電源から、遅れ力率 0.8 で 16 kW を消費する。470 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。 電源から見た新しい力率 cos φ を求めよ。
P = 16 kWpf1 = 0.8V = 240 Vf = 60 HzC = 470 µF
cos φ =
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコンデンサが並列に、120 V（実効値）、100 Hz の電源に接続されている。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩC = 22 µF
I = A
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 12 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。
V = 12 V (rms)R = 15 ΩL = 20 mHC = 1 µF
VL = V
9.直流モーターふつう
k = 0.5 N·m/A、Ra = 0.25 Ω の直流モーターを 120 V につなぎます。速度 0 でのトルク、すなわち拘束トルク Tstall を求めなさい。
V = 120 Vk = 0.5 N·m/ARa = 0.25 Ω
Tstall = N·m
10.直流モーターむずかしい
直流チョッパが、240 V の直流母線からモーター（k = 0.3 V·s/rad、Ra = 0.2 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·240 V です。負荷 12 N·m で 1000 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。
Vdc = 240 Vk = 0.3 V·s/radRa = 0.2 ΩT = 12 N·mn = 1000 rpm
D = %
3溶液
1.三相電力
答え: P = 13.86 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
皮相電力
S = √3·VL·IL = √3·400·25 = 17.32 kVA
有効電力
P = S·cos φ = 17.32·0.8 = 13.86 kW
答え
P = 13.86 kW
2.三相電力
答え: Cph = 955.4 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 100·tan(acos 0.7) = 100·1.02 = 102 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 69.15 kvar
1 相あたりの静電容量
Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。
V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 23051/(314.2·277.1²) = 955.4 µF
答え
Cph = 955.4 µF
3.変圧器
答え: ILV = 416.7 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
定格電流
両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。
ILV = S/V = 100000/240 = 416.7 A
答え
ILV = 416.7 A
4.変圧器
答え: Ploss = 1625 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
この負荷での銅損
Pcu = x²·Pcu,fl = 0.25·2500 = 625 W
全損失
鉄損は負荷によらず一定です。
Ploss = 1000 + 625 = 1625 W
答え
Ploss = 1625 W
この負荷での効率は η = 98.65% です。
5.交流電力と力率
答え: I = 263.9 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
線電流
仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。
I = P/(V·cos φ) = 38000/(240·0.6) = 263.9 A
答え
I = 263.9 A
6.交流電力と力率
答え: cos φ = 0.9938
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = 16·tan(arccos 0.8) = 12 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·60·470·10⁻⁶ = 10206 var = 10.21 kvar
Q2 = 12 − 10.21 = 1.794 kvar
新しい皮相電力
S2 = √(16² + 1.794²) = 16.1 kVA
新しい力率
cos φ = P/S2 = 16/16.1 = 0.9938
答え
cos φ = 0.9938
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 5.079 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 120/25 = 4.8 A
IX = V/XC = 120/72.34 = 1.659 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(4.8² + 1.659²) = 5.079 A
答え
I = 5.079 A
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VL = 113.1 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·1·10⁻⁶) = 7071 rad/s
I = V/R = 12/15 = 0.8 A
コイルの両端の電圧
XL = ω₀L = 7071·0.02 = 141.4 Ω
VL = I·XL = 0.8·141.4 = 113.1 V
答え
VL = 113.1 V
これは電源電圧の Q = 9.428 倍です。
9.直流モーター
答え: Tstall = 240 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
拘束電流
Ia = V/Ra = 120/0.25 = 480 A
拘束トルク
Tstall = 0.5·480 = 240 N·m
答え
Tstall = 240 N·m
10.直流モーター
答え: D = 16.42 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
必要な電機子電圧
Va = 0.3·104.7 + 40·0.2 = 39.42 V
デューティ比
D = 39.42/240 = 16.42 %
答え
D = 16.42 %
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