三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 18 + j24 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 208 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 208 VZ = 18 + j24 Ω 1 相あたり
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 100 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
出力抵抗 200 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 50 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 200 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。
Rs = 200 ΩRL = 50 Ω
a =
4.変圧器むずかしい
単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 900 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.95 での効率は 96% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 150 kVAPcore = 900 Wpf = 0.95η = 96%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
2 つの負荷が 240 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.6 の 26 kW の負荷と、10 kW のヒーター（力率 1）。 電源から流れる全電流 I を求めよ。
V = 240 VP1 = 26 kW, pf1 = 0.6 遅れP2 = 10 kW, pf2 = 1
I = A
6.交流電力と力率むずかしい
200 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.85 で 79 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。
Smax = 200 kVAP1 = 79 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 47 µF
φ = °
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 2 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。
V = 2 V (rms)R = 20 ΩL = 10 mHC = 1 µF
VL = V
9.直流モーターふつう
直流モーター（k = 1 V·s/rad、Ra = 1.2 Ω）が 220 V で動作します。全負荷時に 15 A が流れます。無負荷電流を無視して、速度変動率 SR = (n₀ − nFL)/nFL を百分率で求めなさい。
V = 220 Vk = 1 V·s/radRa = 1.2 ΩIFL = 15 A
SR = %
10.直流モーターむずかしい
直流チョッパが、220 V の直流母線からモーター（k = 0.75 V·s/rad、Ra = 0.8 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·220 V です。負荷 18.75 N·m で 600 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。
Vdc = 220 Vk = 0.75 V·s/radRa = 0.8 ΩT = 18.75 N·mn = 600 rpm
D = %
3溶液
1.三相電力
答え: P = 0.8653 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電圧
Vph = 208/√3 = 120.1 V
相電流
|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω
Iph = 120.1/30 = 4.003 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·4.003²·18 = 0.8653 kW
答え
P = 0.8653 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.6 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
2.三相電力
答え: Cph = 698.5 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 100·tan(acos 0.8) = 100·0.75 = 75 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 42.13 kvar
1 相あたりの静電容量
Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。
V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 14044/(377·230.9²) = 698.5 µF
答え
Cph = 698.5 µF
3.変圧器
答え: a = 2
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
換算した負荷を整合させる
a²·50 = 200
a = √(200/50) = √4 = 2
答え
a = 2
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 5038 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 150·0.95 = 142.5 kW
Pin = 142500/0.96 = 148438 W
全損失と銅損
Ploss = 148438 − 142500 = 5938 W
Pcu,fl = 5938 − 900 = 5038 W
答え
Pcu,fl = 5038 W
5.交流電力と力率
答え: I = 208.2 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
各負荷の無効電力
遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。
Q1 = 26·tan(arccos 0.6) = 34.67 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
合計
P = 26 + 10 = 36 kW
Q = 34.67 + 0 = 34.67 kvar
S = √(36² + 34.67²) = 49.98 kVA
全電流
I = S/V = 49978/240 = 208.2 A
答え
I = 208.2 A
6.交流電力と力率
答え: ΔP = 114.9 kW
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
既存の負荷の無効電力
Q1 = 79·tan(arccos 0.85) = 48.96 kvar
最大の全有効電力
定格いっぱいでは S = Smax で、Q は抵抗負荷によって変わりません。
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 48.96²) = 193.9 kW
追加できる有効電力
ΔP = 193.9 − 79 = 114.9 kW
答え
ΔP = 114.9 kW
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = −25.17 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−37.59)²) = 88.39 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−37.59/80) = −25.17°
答え
φ = −25.17°
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VL = 10 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·1·10⁻⁶) = 10000 rad/s
I = V/R = 2/20 = 0.1 A
コイルの両端の電圧
XL = ω₀L = 10000·0.01 = 100 Ω
VL = I·XL = 0.1·100 = 10 V
答え
VL = 10 V
これは電源電圧の Q = 5 倍です。
9.直流モーター
答え: SR = 8.911 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
無負荷速度と全負荷速度
n₀ = 60·220/(2π·1) = 2101 rpm
nFL = 60·(220 − 15·1.2)/(2π·1) = 1929 rpm
速度変動率
SR = (2101 − 1929)/1929·100 = 8.911 %
答え
SR = 8.911 %
10.直流モーター
答え: D = 30.51 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
必要な電機子電圧
Va = 0.75·62.83 + 25·0.8 = 67.12 V
デューティ比
D = 67.12/220 = 30.51 %
答え
D = 30.51 %
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