三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 9 + j12 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 400 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 400 VZ = 9 + j12 Ω 1 相あたり
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、415 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 50 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 50 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3.変圧器ふつう
巻数比 N₁:N₂ = 5:1 の理想変圧器の一次巻線に 1200 V を加える。二次巻線に 30 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I1 を求めよ。
N1:N2 = 5:1V1 = 1200 VRL = 30 Ω
I1 = A
4.変圧器むずかしい
単相 500 kVA の変圧器の鉄損は 2500 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.9 での効率は 97% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 500 kVAPcore = 2500 Wpf = 0.9η = 97%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
インピーダンス Z = 6 + j8 Ω の負荷が 230 V（実効値）の単相電源に接続されている。 皮相電力 S を求めよ。
V = 230 VZ = 6 + j8 Ω
S = VA
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 240 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.6 で 10 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.98 に改善する。 新しい線電流 Inew を求めよ。
P = 10 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.98V = 240 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 回路の力率 cos φ を求めよ。
V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 47 µF
cos φ =
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、230 V（実効値）、500 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 500 HzR1 = 30 ΩR2 = 60 ΩC = 4.7 µF
|Z| = Ω
9.直流モーターふつう
直流モーター（k = 0.75 V·s/rad、Ra = 0.2 Ω）が 48 V で動作します。全負荷時に 12 A が流れます。無負荷電流を無視して、速度変動率 SR = (n₀ − nFL)/nFL を百分率で求めなさい。
V = 48 Vk = 0.75 V·s/radRa = 0.2 ΩIFL = 12 A
SR = %
10.直流モーターむずかしい
直流チョッパが、240 V の直流母線からモーター（k = 0.8 V·s/rad、Ra = 0.2 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·240 V です。負荷 16 N·m で 750 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。
Vdc = 240 Vk = 0.8 V·s/radRa = 0.2 ΩT = 16 N·mn = 750 rpm
D = %
3溶液
1.三相電力
答え: P = 19.2 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電圧
Vph = VL = 400 V
相電流
|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 400/15 = 26.67 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·26.67²·9 = 19.2 kW
答え
P = 19.2 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.6 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
2.三相電力
答え: QC = 34.58 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 50·tan(acos 0.7) = 50·1.02 = 51.01 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.95) = 50·0.3287 = 16.43 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 34.58 kvar
答え
QC = 34.58 kvar
3.変圧器
答え: I1 = 1.6 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
二次電圧と二次電流
V2 = 1200/5 = 240 V
I2 = 240/30 = 8 A
一次電流
理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。
I1 = I2/5 = 1.6 A
答え
I1 = 1.6 A
確認：一次側から見た負荷は a²·RL = 750 Ω で、1200/750 からも同じ電流が得られます。
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 11418 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 500·0.9 = 450 kW
Pin = 450000/0.97 = 463918 W
全損失と銅損
Ploss = 463918 − 450000 = 13918 W
Pcu,fl = 13918 − 2500 = 11418 W
答え
Pcu,fl = 11418 W
5.交流電力と力率
答え: S = 5290 VA
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
電流
|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 230/10 = 23 A
皮相電力
S = V·I = 230·23 = 5290 VA
答え
S = 5290 VA
6.交流電力と力率
答え: Inew = 42.52 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(53.13°) = 13.33 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(11.48°) = 2.031 kvar
QC = Q1 − Q2 = 11.3 kvar
新しい線電流
Inew = P/(V·cos φ2) = 10000/(240·0.98) = 42.52 A
答え
Inew = 42.52 A
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: cos φ = 0.92
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 12.57 Ω, XC = 33.86 Ω
インピーダンス
|Z| = √(50² + (−21.3)²) = 54.35 Ω
力率
cos φ = R/|Z| = 50/54.35 = 0.92
回路は容量性なので、力率は進みです。
答え
cos φ = 0.92
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 70.24 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·500·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 33.62 − j29.78 Ω
合成インピーダンス
Z = 30 + 33.62 − j29.78 = 63.62 − j29.78 Ω
|Z| = √(63.62² + 29.78²) = 70.24 Ω
答え
|Z| = 70.24 Ω
9.直流モーター
答え: SR = 5.263 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
無負荷速度と全負荷速度
n₀ = 60·48/(2π·0.75) = 611.2 rpm
nFL = 60·(48 − 12·0.2)/(2π·0.75) = 580.6 rpm
速度変動率
SR = (611.2 − 580.6)/580.6·100 = 5.263 %
答え
SR = 5.263 %
10.直流モーター
答え: D = 27.85 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
必要な電機子電圧
Va = 0.8·78.54 + 20·0.2 = 66.83 V
デューティ比
D = 66.83/240 = 27.85 %
答え
D = 27.85 %
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