電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

1 相あたりのインピーダンスが 4 + j3 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 208 V の平衡三相電源に接続されている。負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 208 VZ = 4 + j3 Ω 1 相あたり

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、415 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 100 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.92V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

巻数比 N₁:N₂ = 4:1 の理想変圧器の一次巻線に 960 V を加える。二次巻線に 4 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I₁ を求めよ。

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 960 VR_L = 4 Ω

I₁ = A

4.変圧器むずかしい

単相 50 kVA の変圧器の鉄損は 400 W、定格負荷での銅損は 1000 W である。効率が最大になる負荷 S_η,max を kVA で求めよ。

S = 50 kVAP_core = 400 WP_cu,fl = 1000 W

S_η,max = kVA

5.交流電力と力率ふつう

誘導性負荷が 230 V（実効値）の単相電源から 8 A と 1472 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 X を求めよ。

V = 230 VI = 8 AP = 1472 W

X = Ω

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 400 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 25 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。コンデンサが供給すべき無効電力 Q_C を求めよ。

P = 25 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.92V = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 100 µF

I = A

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

抵抗 R₁ が、R₂ とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、24 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。電流の実効値 I を求めよ。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 40 ΩC = 47 µF

I = A

9.直流モーターふつう

直流モーターが 24 V の電源から 8 A を引き込みます。電機子抵抗は 0.2 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 7 W です。効率 η を求めなさい。

V = 24 VI_a = 8 AR_a = 0.2 ΩP_rot = 7 W

η = %

10.直流モーターむずかしい

小型の直流モーターの電機子抵抗は 3 Ω で、110 V で動作します。回転損を無視して、どの速度でも発生できる最大の機械的電力 P_max を求めなさい。

V = 110 VR_a = 3 Ω

P_max = W

3溶液

1.三相電力

答え: P = 6.922 kW

相電圧

V_ph = 208/√3 = 120.1 V

相電流

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I_ph = 120.1/5 = 24.02 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·I_ph²·R = 3·24.02²·4 = 6.922 kW

答え

P = 6.922 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·V_L·I_L·cos φ からも同じ電力が得られます。

2.三相電力

答え: C_ph = 695.5 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 100·tan(acos 0.78) = 100·0.8023 = 80.23 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0.92) = 100·0.426 = 42.6 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 37.63 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 12543/(314.2·239.6²) = 695.5 µF

答え

C_ph = 695.5 µF

3.変圧器

答え: I₁ = 15 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

二次電圧と二次電流

V₂ = 960/4 = 240 V

I₂ = 240/4 = 60 A

一次電流

理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/4 = 15 A

答え

I₁ = 15 A

確認：一次側から見た負荷は a²·R_L = 64 Ω で、960/64 からも同じ電流が得られます。

4.変圧器

答え: S_η,max = 31.62 kVA

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

銅損 = 鉄損

x²·1000 = 400 → x = √(400/1000) = 0.6325

最大効率となる負荷

S_η,max = x·S = 0.6325·50 = 31.62 kVA

答え

S_η,max = 31.62 kVA

5.交流電力と力率

答え: X = 17.25 Ω

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

有効電力からの抵抗

R = P/I² = 1472/8² = 23 Ω

インピーダンスからのリアクタンス

|Z| = V/I = 230/8 = 28.75 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(28.75² − 23²) = 17.25 Ω

答え

X = 17.25 Ω

6.交流電力と力率

答え: Q_C = 11.4 kvar

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(41.41°) = 22.05 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(23.07°) = 10.65 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 11.4 kvar

答え

Q_C = 11.4 kvar

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.907 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.02 = 7.54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−18.99)²) = 62.93 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 120/62.93 = 1.907 A

答え

I = 1.907 A

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.113 A

リアクタンス

X_C = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Z_p を実部と虚部に分けます。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 6.078 − j14.36 Ω

合成インピーダンス

Z = 10 + 6.078 − j14.36 = 16.08 − j14.36 Ω

|Z| = √(16.08² + 14.36²) = 21.56 Ω

電流

I = V/|Z| = 24/21.56 = 1.113 A

答え

I = 1.113 A

9.直流モーター

答え: η = 89.69 %

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

電力

P_in = 24·8 = 192 W

P_dev = 22.4·8 = 179.2 W

P_out = 179.2 − 7 = 172.2 W

効率

η = 172.2/192·100 = 89.69 %

答え

η = 89.69 %

10.直流モーター

答え: P_max = 1008 W

逆起電力の関数としての電力

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V

最大電力

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 110²/(4·3) = 1008 W

答え

P_max = 1008 W

この点での効率はわずか 50 % なので、実際のモーターは半分の速度よりずっと高い速度で運転されます。

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