三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
平衡三相負荷が、線間電圧 208 V の電源から線電流 120 A を流している。力率は遅れ 0.82 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 208 VIL = 120 Acos φ = 0.82
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、480 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 120 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 120 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.98VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
出力抵抗 45 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 5 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 45 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。
Rs = 45 ΩRL = 5 Ω
a =
4.変圧器むずかしい
単相 250 kVA の変圧器の鉄損は 1500 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.85 での効率は 98.5% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 250 kVAPcore = 1500 Wpf = 0.85η = 98.5%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.8 で 26 kW を消費する。 モーターの無効電力 Q を求めよ。
P = 26 kWpf = 0.8V = 230 V
Q = kvar
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 240 V、50 Hz の電源から、遅れ力率 0.75 で 22 kW を消費する。470 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。 電源から見た新しい力率 cos φ を求めよ。
P = 22 kWpf1 = 0.75V = 240 Vf = 50 HzC = 470 µF
cos φ =
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 回路の力率 cos φ を求めよ。
V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
cos φ =
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 2 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。
V = 2 V (rms)R = 20 ΩL = 5 mHC = 1 µF
VL = V
9.直流モーターふつう
k = 1 V·s/rad の直流モーターが 240 V で動作します。無負荷時の損失をすべて無視して、無負荷速度 n0 を rpm で求めなさい。
V = 240 Vk = 1 V·s/rad
n0 = rpm
10.直流モーターむずかしい
小型の直流モーターの電機子抵抗は 2.5 Ω で、48 V で動作します。回転損を無視して、どの速度でも発生できる最大の機械的電力 Pmax を求めなさい。
V = 48 VRa = 2.5 Ω
Pmax = W
3溶液
1.三相電力
答え: P = 35.45 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
皮相電力
S = √3·VL·IL = √3·208·120 = 43.23 kVA
有効電力
P = S·cos φ = 43.23·0.82 = 35.45 kW
答え
P = 35.45 kW
2.三相電力
答え: Cph = 937.9 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 120·tan(acos 0.75) = 120·0.8819 = 105.8 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.98) = 120·0.2031 = 24.37 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 81.46 kvar
1 相あたりの静電容量
Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。
V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 27154/(377·277.1²) = 937.9 µF
答え
Cph = 937.9 µF
3.変圧器
答え: a = 3
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
換算した負荷を整合させる
a²·5 = 45
a = √(45/5) = √9 = 3
答え
a = 3
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 1736 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 250·0.85 = 212.5 kW
Pin = 212500/0.985 = 215736 W
全損失と銅損
Ploss = 215736 − 212500 = 3236 W
Pcu,fl = 3236 − 1500 = 1736 W
答え
Pcu,fl = 1736 W
5.交流電力と力率
答え: Q = 19.5 kvar
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
位相角
φ = arccos(0.8) = 36.87°, tan φ = 0.75
無効電力
Q = P·tan φ = 26·0.75 = 19.5 kvar
答え
Q = 19.5 kvar
6.交流電力と力率
答え: cos φ = 0.8961
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = 22·tan(arccos 0.75) = 19.4 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·470·10⁻⁶ = 8505 var = 8.505 kvar
Q2 = 19.4 − 8.505 = 10.9 kvar
新しい皮相電力
S2 = √(22² + 10.9²) = 24.55 kVA
新しい力率
cos φ = P/S2 = 22/24.55 = 0.8961
答え
cos φ = 0.8961
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: cos φ = 0.1495
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 15.71 Ω, XC = 677.3 Ω
インピーダンス
|Z| = √(100² + (−661.5)²) = 669.1 Ω
力率
cos φ = R/|Z| = 100/669.1 = 0.1495
回路は容量性なので、力率は進みです。
答え
cos φ = 0.1495
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VL = 7.071 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·1·10⁻⁶) = 14142 rad/s
I = V/R = 2/20 = 0.1 A
コイルの両端の電圧
XL = ω₀L = 14142·0.005 = 70.71 Ω
VL = I·XL = 0.1·70.71 = 7.071 V
答え
VL = 7.071 V
これは電源電圧の Q = 3.536 倍です。
9.直流モーター
答え: n0 = 2292 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
無負荷速度
ω₀ = V/k = 240/1 = 240 rad/s
n0 = 60·240/(2π) = 2292 rpm
答え
n0 = 2292 rpm
10.直流モーター
答え: Pmax = 230.4 W
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
逆起電力の関数としての電力
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V
最大電力
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·2.5) = 230.4 W
答え
Pmax = 230.4 W
この点での効率はわずか 50 % なので、実際のモーターは半分の速度よりずっと高い速度で運転されます。
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