三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
三相誘導電動機が全負荷で 22 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 95%、力率は遅れ 0.8 である。電源の線間電圧は 480 V である。線電流 IL を求めよ。
Pout = 22 kWη = 95%cos φ = 0.8VL = 480 V
IL = A
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、690 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 80 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 80 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3.変圧器ふつう
出力抵抗 5000 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 50 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 5000 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。
Rs = 5000 ΩRL = 50 Ω
a =
4.変圧器むずかしい
単相 500 kVA の変圧器の鉄損は 2000 W、定格負荷での銅損は 5000 W である。 効率が最大になる負荷 Sη,max を kVA で求めよ。
S = 500 kVAPcore = 2000 WPcu,fl = 5000 W
Sη,max = kVA
5.交流電力と力率ふつう
インピーダンス Z = 24 + j7 Ω の負荷が 120 V（実効値）の単相電源に接続されている。 負荷が消費する無効電力 Q を求めよ。
V = 120 VZ = 24 + j7 Ω
Q = var
6.交流電力と力率むずかしい
150 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.75 で 80 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。
Smax = 150 kVAP1 = 80 kWpf1 = 0.75
ΔP = kW
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 10 µF
φ = °
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路の R = 15 Ω、L = 200 mH、C = 0.047 µF である。 共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。
R = 15 ΩL = 200 mHC = 0.047 µF
Q =
9.直流モーターふつう
直流モーターが 110 V の電源から 25 A を引き込みます。電機子抵抗は 0.5 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 122 W です。効率 η を求めなさい。
V = 110 VIa = 25 ARa = 0.5 ΩProt = 122 W
η = %
10.直流モーターむずかしい
小型の直流モーターの電機子抵抗は 0.8 Ω で、48 V で動作します。回転損を無視して、どの速度でも発生できる最大の機械的電力 Pmax を求めなさい。
V = 48 VRa = 0.8 Ω
Pmax = W
3溶液
1.三相電力
答え: IL = 34.82 A
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
電気入力
Pin = Pout/η = 22/0.95 = 23.16 kW
線電流
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 23158/(√3·480·0.8) = 34.82 A
答え
IL = 34.82 A
2.三相電力
答え: QC = 43.76 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 80·tan(acos 0.8) = 80·0.75 = 60 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.98) = 80·0.2031 = 16.24 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 43.76 kvar
答え
QC = 43.76 kvar
3.変圧器
答え: a = 10
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
換算した負荷を整合させる
a²·50 = 5000
a = √(5000/50) = √100 = 10
答え
a = 10
4.変圧器
答え: Sη,max = 316.2 kVA
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
銅損 = 鉄損
x²·5000 = 2000 → x = √(2000/5000) = 0.6325
最大効率となる負荷
Sη,max = x·S = 0.6325·500 = 316.2 kVA
答え
Sη,max = 316.2 kVA
5.交流電力と力率
答え: Q = 161.3 var
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
電流
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 120/25 = 4.8 A
無効電力
Q = I²·X = 4.8²·7 = 161.3 var
答え
Q = 161.3 var
6.交流電力と力率
答え: ΔP = 52.37 kW
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
既存の負荷の無効電力
Q1 = 80·tan(arccos 0.75) = 70.55 kvar
最大の全有効電力
定格いっぱいでは S = Smax で、Q は抵抗負荷によって変わりません。
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 70.55²) = 132.4 kW
追加できる有効電力
ΔP = 132.4 − 80 = 52.37 kW
答え
ΔP = 52.37 kW
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = −79.15 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−208.7)²) = 212.5 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−208.7/40) = −79.15°
答え
φ = −79.15°
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: Q = 137.5
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振周波数
f0 = 1/(2π·√(0.2·0.047·10⁻⁶)) = 1642 Hz
Q 値
Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.2/(0.047·10⁻⁶)) = 137.5
答え
Q = 137.5
9.直流モーター
答え: η = 84.2 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電力
Pin = 110·25 = 2750 W
Pdev = 97.5·25 = 2438 W
Pout = 2438 − 122 = 2316 W
効率
η = 2316/2750·100 = 84.2 %
答え
η = 84.2 %
10.直流モーター
答え: Pmax = 720 W
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
逆起電力の関数としての電力
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V
最大電力
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·0.8) = 720 W
答え
Pmax = 720 W
この点での効率はわずか 50 % なので、実際のモーターは半分の速度よりずっと高い速度で運転されます。
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