電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 480 V の電源から線電流 15 A を流している。力率は遅れ 0.85 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VI_L = 15 Acos φ = 0.85

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、415 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 75 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 Q_C を kvar で求めよ。

P = 75 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.95V_L = 415 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.変圧器ふつう

巻数比 N₁:N₂ = 6:1 の理想変圧器の二次巻線に 4 Ω の抵抗を接続する。一次巻線から見た抵抗 R_1′ を求めよ。

N₁:N₂ = 6:1R_L = 4 Ω

R_1′ = Ω

4.変圧器むずかしい

単相 200 kVA の変圧器の鉄損は 800 W、定格負荷での銅損は 2400 W である。効率が最大になる負荷 S_η,max を kVA で求めよ。

S = 200 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 2400 W

S_η,max = kVA

5.交流電力と力率ふつう

誘導性負荷が 120 V（実効値）の単相電源から 12 A と 1296 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 X を求めよ。

V = 120 VI = 12 AP = 1296 W

X = Ω

6.交流電力と力率むずかしい

200 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.8 で 100 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。

S_max = 200 kVAP₁ = 100 kWpf₁ = 0.8

ΔP = kW

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。回路の力率 cos φ を求めよ。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 22 µF

cos φ =

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 24 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 V_L を求めよ。

V = 24 V (rms)R = 15 ΩL = 5 mHC = 1 µF

V_L = V

9.直流モーターふつう

k = 1 V·s/rad の直流モーターが 240 V で動作します。無負荷時の損失をすべて無視して、無負荷速度 n₀ を rpm で求めなさい。

V = 240 Vk = 1 V·s/rad

n₀ = rpm

10.直流モーターむずかしい

k = 0.25 V·s/rad、R_a = 0.5 Ω の直流モーターが、1500 rpm で 1 N·m の負荷を駆動しなければなりません。必要な電機子電圧 V を求めなさい。

k = 0.25 V·s/radR_a = 0.5 ΩT = 1 N·mn = 1500 rpm

V = V

3溶液

1.三相電力

答え: P = 10.6 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·480·15 = 12.47 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 12.47·0.85 = 10.6 kW

答え

P = 10.6 kW

2.三相電力

答え: Q_C = 35.52 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 75·tan(acos 0.78) = 75·0.8023 = 60.17 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.95) = 75·0.3287 = 24.65 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 35.52 kvar

答え

Q_C = 35.52 kvar

3.変圧器

答え: R_1′ = 144 Ω

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

換算抵抗

電圧は a 倍になり、電流は 1/a 倍になるので、比 V/I は a² 倍になります。

R_1′ = a²·R_L = 6²·4 = 144 Ω

答え

R_1′ = 144 Ω

4.変圧器

答え: S_η,max = 115.5 kVA

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

銅損 = 鉄損

x²·2400 = 800 → x = √(800/2400) = 0.5774

最大効率となる負荷

S_η,max = x·S = 0.5774·200 = 115.5 kVA

答え

S_η,max = 115.5 kVA

5.交流電力と力率

答え: X = 4.359 Ω

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

有効電力からの抵抗

R = P/I² = 1296/12² = 9 Ω

インピーダンスからのリアクタンス

|Z| = V/I = 120/12 = 10 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(10² − 9²) = 4.359 Ω

答え

X = 4.359 Ω

6.交流電力と力率

答え: ΔP = 85.4 kW

既存の負荷の無効電力

Q₁ = 100·tan(arccos 0.8) = 75 kvar

最大の全有効電力

定格いっぱいでは S = S_max で、Q は抵抗負荷によって変わりません。

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 75²) = 185.4 kW

追加できる有効電力

ΔP = 185.4 − 100 = 85.4 kW

答え

ΔP = 85.4 kW

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: cos φ = 0.6838

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = 56.55 Ω, X_C = 120.6 Ω

インピーダンス

|Z| = √(60² + (−64.02)²) = 87.74 Ω

力率

cos φ = R/|Z| = 60/87.74 = 0.6838

回路は容量性なので、力率は進みです。

答え

cos φ = 0.6838

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_L = 113.1 V

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·1·10⁻⁶) = 14142 rad/s

I = V/R = 24/15 = 1.6 A

コイルの両端の電圧

X_L = ω₀L = 14142·0.005 = 70.71 Ω

V_L = I·X_L = 1.6·70.71 = 113.1 V

答え

V_L = 113.1 V

これは電源電圧の Q = 4.714 倍です。

9.直流モーター

答え: n₀ = 2292 rpm

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

無負荷速度

ω₀ = V/k = 240/1 = 240 rad/s

n₀ = 60·240/(2π) = 2292 rpm

答え

n₀ = 2292 rpm

10.直流モーター

答え: V = 41.27 V

逆起電力

E = 0.25·157.1 = 39.27 V

電機子電流

I_a = 1/0.25 = 4 A

電機子電圧

V = 39.27 + 4·0.5 = 41.27 V

答え

V = 41.27 V

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