三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 9 + j12 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 480 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 480 VZ = 9 + j12 Ω 1 相あたり
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、415 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 80 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 80 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
出力抵抗 128 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 8 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 128 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。
Rs = 128 ΩRL = 8 Ω
a =
4.変圧器むずかしい
単相 75 kVA の変圧器の鉄損は 375 W、定格負荷での銅損は 937.5 W である。 効率が最大になる負荷 Sη,max を kVA で求めよ。
S = 75 kVAPcore = 375 WPcu,fl = 937.5 W
Sη,max = kVA
5.交流電力と力率ふつう
誘導性負荷が 120 V（実効値）の単相電源から 18 A と 1728 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 X を求めよ。
V = 120 VI = 18 AP = 1728 W
X = Ω
6.交流電力と力率むずかしい
120 V（実効値）、50 Hz の電源の内部インピーダンスは Zs = 25 + j15 Ω である。負荷インピーダンス ZL は自由に選べる。 最大電力を得る負荷を、抵抗とコンデンサの直列回路でつくる。静電容量 C を求めよ。
Vs = 120 V (rms)f = 50 HzZs = 25 + j15 Ω
C = µF
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 1 µF
φ = °
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路の R = 50 Ω、L = 20 mH、C = 0.022 µF である。 帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。
R = 50 ΩL = 20 mHC = 0.022 µF
B = Hz
9.直流モーターふつう
直流モーターが 110 V の電源から 10 A を引き込みます。電機子抵抗は 1.5 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 76 W です。効率 η を求めなさい。
V = 110 VIa = 10 ARa = 1.5 ΩProt = 76 W
η = %
10.直流モーターむずかしい
k = 0.75 V·s/rad、Ra = 0.25 Ω の直流モーターが、500 rpm で 11.25 N·m の負荷を駆動しなければなりません。必要な電機子電圧 V を求めなさい。
k = 0.75 V·s/radRa = 0.25 ΩT = 11.25 N·mn = 500 rpm
V = V
3溶液
1.三相電力
答え: P = 27.65 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電圧
Vph = VL = 480 V
相電流
|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 480/15 = 32 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·32²·9 = 27.65 kW
答え
P = 27.65 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.6 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
2.三相電力
答え: Cph = 392.8 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 80·tan(acos 0.8) = 80·0.75 = 60 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.9) = 80·0.4843 = 38.75 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 21.25 kvar
1 相あたりの静電容量
Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。
V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 7085/(314.2·239.6²) = 392.8 µF
答え
Cph = 392.8 µF
3.変圧器
答え: a = 4
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
換算した負荷を整合させる
a²·8 = 128
a = √(128/8) = √16 = 4
答え
a = 4
4.変圧器
答え: Sη,max = 47.43 kVA
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
銅損 = 鉄損
x²·937.5 = 375 → x = √(375/937.5) = 0.6325
最大効率となる負荷
Sη,max = x·S = 0.6325·75 = 47.43 kVA
答え
Sη,max = 47.43 kVA
5.交流電力と力率
答え: X = 4 Ω
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
有効電力からの抵抗
R = P/I² = 1728/18² = 5.333 Ω
インピーダンスからのリアクタンス
|Z| = V/I = 120/18 = 6.667 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(6.667² − 5.333²) = 4 Ω
答え
X = 4 Ω
6.交流電力と力率
答え: C = 212.2 µF
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
共役整合
負荷のリアクタンスは電源のリアクタンスを打ち消し、負荷抵抗は電源抵抗に等しくなります。
ZL = Zs* = 25 − j15 Ω
静電容量
XC = 15 Ω → C = 1/(2π·50·15) = 212.2 µF
答え
C = 212.2 µF
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = −86.88 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·1·10⁻⁶) = 795.8 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−732.9)²) = 734 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−732.9/40) = −86.88°
答え
φ = −86.88°
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: B = 397.9 Hz
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振周波数
f0 = 1/(2π·√(0.02·0.022·10⁻⁶)) = 7587 Hz
Q 値
Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0.02/(0.022·10⁻⁶)) = 19.07
帯域幅
B = f0/Q = 7587/19.07 = 397.9 Hz
答え
B = 397.9 Hz
9.直流モーター
答え: η = 79.45 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電力
Pin = 110·10 = 1100 W
Pdev = 95·10 = 950 W
Pout = 950 − 76 = 874 W
効率
η = 874/1100·100 = 79.45 %
答え
η = 79.45 %
10.直流モーター
答え: V = 43.02 V
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
逆起電力
E = 0.75·52.36 = 39.27 V
電機子電流
Ia = 11.25/0.75 = 15 A
電機子電圧
V = 39.27 + 15·0.25 = 43.02 V
答え
V = 43.02 V
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