電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

1 相あたりのインピーダンスが 24 + j7 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 400 V の平衡三相電源に接続されている。負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 400 VZ = 24 + j7 Ω 1 相あたり

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、415 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 75 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 75 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.92V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

単相 500 kVA、4160/480 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。低圧巻線の電流 I_LV を求めよ。

S = 500 kVAV₁ = 4160 VV₂ = 480 V

I_LV = A

4.変圧器むずかしい

単相 25 kVA の変圧器の鉄損は 75 W である。定格負荷、遅れ力率 0.85 での効率は 97% である。全負荷銅損 P_cu,fl を W で求めよ。

S = 25 kVAP_core = 75 Wpf = 0.85η = 97%

P_cu,fl = W

5.交流電力と力率ふつう

2 つの負荷が 240 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.8 の 8 kW の負荷と、遅れ力率 0.8 の 13 kW の負荷。電源から流れる全電流 I を求めよ。

V = 240 VP₁ = 8 kW, pf₁ = 0.8 遅れP₂ = 13 kW, pf₂ = 0.8 遅れ

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

75 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.85 で 31 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。

S_max = 75 kVAP₁ = 31 kWpf₁ = 0.85

ΔP = kW

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。電源から供給される有効電力 P を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 22 µF

P = W

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

9.直流モーターふつう

k = 1 V·s/rad の直流モーターが 220 V で動作します。無負荷時の損失をすべて無視して、無負荷速度 n₀ を rpm で求めなさい。

V = 220 Vk = 1 V·s/rad

n₀ = rpm

10.直流モーターむずかしい

小型の直流モーターの電機子抵抗は 1 Ω で、48 V で動作します。回転損を無視して、どの速度でも発生できる最大の機械的電力 P_max を求めなさい。

V = 48 VR_a = 1 Ω

P_max = W

3溶液

1.三相電力

答え: P = 6.144 kW

相電圧

V_ph = 400/√3 = 230.9 V

相電流

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

I_ph = 230.9/25 = 9.238 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·I_ph²·R = 3·9.238²·24 = 6.144 kW

答え

P = 6.144 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.96 で、√3·V_L·I_L·cos φ からも同じ電力が得られます。

2.三相電力

答え: C_ph = 210.7 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 75·tan(acos 0.75) = 75·0.8819 = 66.14 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.92) = 75·0.426 = 31.95 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 34.19 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 11398/(314.2·415²) = 210.7 µF

答え

C_ph = 210.7 µF

3.変圧器

答え: I_LV = 1042 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

定格電流

両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。

I_LV = S/V = 500000/480 = 1042 A

答え

I_LV = 1042 A

4.変圧器

答え: P_cu,fl = 582.2 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

出力と入力

P_out = 25·0.85 = 21.25 kW

P_in = 21250/0.97 = 21907 W

全損失と銅損

P_loss = 21907 − 21250 = 657.2 W

P_cu,fl = 657.2 − 75 = 582.2 W

答え

P_cu,fl = 582.2 W

5.交流電力と力率

答え: I = 109.4 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

各負荷の無効電力

遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。

Q₁ = 8·tan(arccos 0.8) = 6 kvar

Q₂ = 13·tan(arccos 0.8) = 9.75 kvar

合計

P = 8 + 13 = 21 kW

Q = 6 + 9.75 = 15.75 kvar

S = √(21² + 15.75²) = 26.25 kVA

全電流

I = S/V = 26250/240 = 109.4 A

答え

I = 109.4 A

6.交流電力と力率

答え: ΔP = 41.5 kW

既存の負荷の無効電力

Q₁ = 31·tan(arccos 0.85) = 19.21 kvar

最大の全有効電力

定格いっぱいでは S = S_max で、Q は抵抗負荷によって変わりません。

P = √(S_max² − Q₁²) = √(75² − 19.21²) = 72.5 kW

追加できる有効電力

ΔP = 72.5 − 31 = 41.5 kW

答え

ΔP = 41.5 kW

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: P = 112.8 W

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = 94.25 Ω, X_C = 120.6 Ω

インピーダンス

|Z| = √(80² + (−26.32)²) = 84.22 Ω

有効電力

コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。

I = 100/84.22 = 1.187 A

P = I²·R = 1.187²·80 = 112.8 W

答え

P = 112.8 W

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.07934 A

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.2 = 628.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3.183 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (625.1)²) = 630.2 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 50/630.2 = 0.07934 A

答え

I = 0.07934 A

9.直流モーター

答え: n₀ = 2101 rpm

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

無負荷速度

ω₀ = V/k = 220/1 = 220 rad/s

n₀ = 60·220/(2π) = 2101 rpm

答え

n₀ = 2101 rpm

10.直流モーター

答え: P_max = 576 W

逆起電力の関数としての電力

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

最大電力

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 48²/(4·1) = 576 W

答え

P_max = 576 W

この点での効率はわずか 50 % なので、実際のモーターは半分の速度よりずっと高い速度で運転されます。

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