三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
平衡三相負荷が、線間電圧 690 V の電源から線電流 40 A を流している。力率は遅れ 0.95 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 690 VIL = 40 Acos φ = 0.95
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、400 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 300 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 300 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.92VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
巻数比 N₁:N₂ = 2:1 の理想変圧器の一次巻線に 240 V を加える。二次巻線に 5 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I1 を求めよ。
N1:N2 = 2:1V1 = 240 VRL = 5 Ω
I1 = A
4.変圧器むずかしい
単相 75 kVA の変圧器の鉄損は 600 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.85 での効率は 96.5% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 75 kVAPcore = 600 Wpf = 0.85η = 96.5%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
誘導性負荷が 240 V（実効値）の単相電源から 5.5 A と 1122 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 R を求めよ。
V = 240 VI = 5.5 AP = 1122 W
R = Ω
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から、遅れ力率 0.75 で 18 kW を消費する。220 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。 新しい線電流 I を求めよ。
P = 18 kWpf1 = 0.75V = 230 Vf = 50 HzC = 220 µF
I = A
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
L = 5 mH の直列 RLC 回路を 5000 Hz で共振させなければならない。必要な静電容量 C を求めよ。
f0 = 5000 HzL = 5 mH
C = µF
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 24 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。
V = 24 V (rms)R = 10 ΩL = 50 mHC = 10 µF
VL = V
9.直流モーターふつう
k = 0.5 N·m/A、Ra = 0.5 Ω の直流モーターを 110 V につなぎます。速度 0 でのトルク、すなわち拘束トルク Tstall を求めなさい。
V = 110 Vk = 0.5 N·m/ARa = 0.5 Ω
Tstall = N·m
10.直流モーターむずかしい
110 V（Ra = 1.5 Ω）の他励直流モーターが、電機子電流 4 A で 1800 rpm で回転しています。負荷が変わり、界磁は変えないまま電流が 8 A になります。新しい速度 n2 を求めなさい。
V = 110 VRa = 1.5 Ωn1 = 1800 rpmIa1 = 4 AIa2 = 8 A
n2 = rpm
3溶液
1.三相電力
答え: P = 45.41 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
皮相電力
S = √3·VL·IL = √3·690·40 = 47.8 kVA
有効電力
P = S·cos φ = 47.8·0.95 = 45.41 kW
答え
P = 45.41 kW
2.三相電力
答え: Cph = 2246 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 300·tan(acos 0.78) = 300·0.8023 = 240.7 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.92) = 300·0.426 = 127.8 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 112.9 kvar
1 相あたりの静電容量
Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。
V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 37628/(314.2·230.9²) = 2246 µF
答え
Cph = 2246 µF
3.変圧器
答え: I1 = 12 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
二次電圧と二次電流
V2 = 240/2 = 120 V
I2 = 120/5 = 24 A
一次電流
理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。
I1 = I2/2 = 12 A
答え
I1 = 12 A
確認：一次側から見た負荷は a²·RL = 20 Ω で、240/20 からも同じ電流が得られます。
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 1712 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 75·0.85 = 63.75 kW
Pin = 63750/0.965 = 66062 W
全損失と銅損
Ploss = 66062 − 63750 = 2312 W
Pcu,fl = 2312 − 600 = 1712 W
答え
Pcu,fl = 1712 W
5.交流電力と力率
答え: R = 37.09 Ω
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
有効電力からの抵抗
R = P/I² = 1122/5.5² = 37.09 Ω
答え
R = 37.09 Ω
6.交流電力と力率
答え: I = 94.59 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = 18·tan(arccos 0.75) = 15.87 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·50·220·10⁻⁶ = 3656 var = 3.656 kvar
Q2 = 15.87 − 3.656 = 12.22 kvar
新しい皮相電力
S2 = √(18² + 12.22²) = 21.76 kVA
新しい線電流
I = S2/V = 21755/230 = 94.59 A
答え
I = 94.59 A
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: C = 0.2026 µF
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振条件
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0.005) = 0.2026 µF
答え
C = 0.2026 µF
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VL = 169.7 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s
I = V/R = 24/10 = 2.4 A
コイルの両端の電圧
XL = ω₀L = 1414·0.05 = 70.71 Ω
VL = I·XL = 2.4·70.71 = 169.7 V
答え
VL = 169.7 V
これは電源電圧の Q = 7.071 倍です。
9.直流モーター
答え: Tstall = 110 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
拘束電流
Ia = V/Ra = 110/0.5 = 220 A
拘束トルク
Tstall = 0.5·220 = 110 N·m
答え
Tstall = 110 N·m
10.直流モーター
答え: n2 = 1696 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
変化前と変化後の逆起電力
E1 = 110 − 4·1.5 = 104 V
E2 = 110 − 8·1.5 = 98 V
新しい速度
n2 = 1800·98/104 = 1696 rpm
答え
n2 = 1696 rpm
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