電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

三相誘導電動機が全負荷で 45 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 93%、力率は遅れ 0.84 である。電源の線間電圧は 690 V である。線電流 I_L を求めよ。

P_out = 45 kWη = 93%cos φ = 0.84V_L = 690 V

I_L = A

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、690 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 120 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 120 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.98V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

単相 50 kVA、6600/230 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。低圧巻線の電流 I_LV を求めよ。

S = 50 kVAV₁ = 6600 VV₂ = 230 V

I_LV = A

4.変圧器むずかしい

単相 75 kVA の変圧器の鉄損は 225 W である。定格負荷、遅れ力率 0.95 での効率は 98.5% である。全負荷銅損 P_cu,fl を W で求めよ。

S = 75 kVAP_core = 225 Wpf = 0.95η = 98.5%

P_cu,fl = W

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 400 V の電源から、遅れ力率 0.7 で 37 kW を消費する。モーターの無効電力 Q を求めよ。

P = 37 kWpf = 0.7V = 400 V

Q = kvar

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 230 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 10 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.95 に改善する。新しい線電流 I_new を求めよ。

P = 10 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.95V = 230 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。回路の力率 cos φ を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF

cos φ =

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

抵抗 R₁ が、R₂ とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、24 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。電流の実効値 I を求めよ。

V = 24 V (rms)f = 60 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 60 ΩC = 22 µF

I = A

9.直流モーターふつう

直流モーター（k = 0.75 V·s/rad、R_a = 0.4 Ω）が 240 V で動作します。全負荷時に 25 A が流れます。無負荷電流を無視して、速度変動率 SR = (n₀ − n_FL)/n_FL を百分率で求めなさい。

V = 240 Vk = 0.75 V·s/radR_a = 0.4 ΩI_FL = 25 A

SR = %

10.直流モーターむずかしい

220 V の直流モーターの電機子抵抗は 0.2 Ω です。始動電流を 60 A に制限する直列の始動抵抗 R_st を求めなさい。

V = 220 VR_a = 0.2 ΩI_max = 60 A

R_st = Ω

3溶液

1.三相電力

答え: I_L = 48.2 A

電気入力

P_in = P_out/η = 45/0.93 = 48.39 kW

線電流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 48387/(√3·690·0.84) = 48.2 A

答え

I_L = 48.2 A

2.三相電力

答え: C_ph = 133.5 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 120·tan(acos 0.78) = 120·0.8023 = 96.27 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0.98) = 120·0.2031 = 24.37 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 71.91 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 23969/(377·690²) = 133.5 µF

答え

C_ph = 133.5 µF

3.変圧器

答え: I_LV = 217.4 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

定格電流

両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。

I_LV = S/V = 50000/230 = 217.4 A

答え

I_LV = 217.4 A

4.変圧器

答え: P_cu,fl = 860 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

出力と入力

P_out = 75·0.95 = 71.25 kW

P_in = 71250/0.985 = 72335 W

全損失と銅損

P_loss = 72335 − 71250 = 1085 W

P_cu,fl = 1085 − 225 = 860 W

答え

P_cu,fl = 860 W

5.交流電力と力率

答え: Q = 37.75 kvar

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

位相角

φ = arccos(0.7) = 45.57°, tan φ = 1.02

無効電力

Q = P·tan φ = 37·1.02 = 37.75 kvar

答え

Q = 37.75 kvar

6.交流電力と力率

答え: I_new = 45.77 A

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(45.57°) = 10.2 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(18.19°) = 3.287 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 6.915 kvar

新しい線電流

I_new = P/(V·cos φ₂) = 10000/(230·0.95) = 45.77 A

答え

I_new = 45.77 A

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: cos φ = 0.8425

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = 188.5 Ω, X_C = 169.3 Ω

インピーダンス

|Z| = √(30² + (19.18)²) = 35.61 Ω

力率

cos φ = R/|Z| = 30/35.61 = 0.8425

回路は誘導性なので、力率は遅れです。

答え

cos φ = 0.8425

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.2377 A

リアクタンス

X_C = 1/(2π·60·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Z_p を実部と虚部に分けます。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 48.09 − j23.93 Ω

合成インピーダンス

Z = 50 + 48.09 − j23.93 = 98.09 − j23.93 Ω

|Z| = √(98.09² + 23.93²) = 101 Ω

電流

I = V/|Z| = 24/101 = 0.2377 A

答え

I = 0.2377 A

9.直流モーター

答え: SR = 4.348 %

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

無負荷速度と全負荷速度

n₀ = 60·240/(2π·0.75) = 3056 rpm

n_FL = 60·(240 − 25·0.4)/(2π·0.75) = 2928 rpm

速度変動率

SR = (3056 − 2928)/2928·100 = 4.348 %

答え

SR = 4.348 %

10.直流モーター

答え: R_st = 3.467 Ω

全抵抗

R_a + R_st = 220/60 = 3.667 Ω

始動抵抗器

R_st = 3.667 − 0.2 = 3.467 Ω

答え

R_st = 3.467 Ω

抵抗器は、モーターが加速して逆起電力が大きくなるにつれて、段階的に切り離されます。

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