三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
三相誘導電動機が全負荷で 7.5 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 94%、力率は遅れ 0.9 である。電源の線間電圧は 400 V である。線電流 IL を求めよ。
Pout = 7.5 kWη = 94%cos φ = 0.9VL = 400 V
IL = A
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、480 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.72 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 100 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.92VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
出力抵抗 250 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 10 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 250 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。
Rs = 250 ΩRL = 10 Ω
a =
4.変圧器むずかしい
単相 50 kVA の変圧器の鉄損は 250 W、定格負荷での銅損は 500 W である。 効率が最大になる負荷 Sη,max を kVA で求めよ。
S = 50 kVAPcore = 250 WPcu,fl = 500 W
Sη,max = kVA
5.交流電力と力率ふつう
単相モーターが 400 V の電源から、遅れ力率 0.75 で 12 kW を消費する。 モーターの無効電力 Q を求めよ。
P = 12 kWpf = 0.75V = 400 V
Q = kvar
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 20 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.9 に改善する。 コンデンサが供給すべき無効電力 QC を求めよ。
P = 20 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
I = A
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路の R = 20 Ω、L = 200 mH、C = 0.22 µF である。 共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。
R = 20 ΩL = 200 mHC = 0.22 µF
Q =
9.直流モーターふつう
直流モーターが 240 V の電源から 10 A を引き込みます。電機子抵抗は 1 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 92 W です。効率 η を求めなさい。
V = 240 VIa = 10 ARa = 1 ΩProt = 92 W
η = %
10.直流モーターむずかしい
240 V（Ra = 0.2 Ω）の他励直流モーターが、電機子電流 40 A で 900 rpm で回転しています。負荷が変わり、界磁は変えないまま電流が 16 A になります。新しい速度 n2 を求めなさい。
V = 240 VRa = 0.2 Ωn1 = 900 rpmIa1 = 40 AIa2 = 16 A
n2 = rpm
3溶液
1.三相電力
答え: IL = 12.8 A
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
電気入力
Pin = Pout/η = 7.5/0.94 = 7.979 kW
線電流
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 7979/(√3·400·0.9) = 12.8 A
答え
IL = 12.8 A
2.三相電力
答え: Cph = 206.4 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 100·tan(acos 0.72) = 100·0.9639 = 96.39 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.92) = 100·0.426 = 42.6 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 53.79 kvar
1 相あたりの静電容量
Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。
V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 17928/(377·480²) = 206.4 µF
答え
Cph = 206.4 µF
3.変圧器
答え: a = 5
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
換算した負荷を整合させる
a²·10 = 250
a = √(250/10) = √25 = 5
答え
a = 5
4.変圧器
答え: Sη,max = 35.36 kVA
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
銅損 = 鉄損
x²·500 = 250 → x = √(250/500) = 0.7071
最大効率となる負荷
Sη,max = x·S = 0.7071·50 = 35.36 kVA
答え
Sη,max = 35.36 kVA
5.交流電力と力率
答え: Q = 10.58 kvar
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
位相角
φ = arccos(0.75) = 41.41°, tan φ = 0.8819
無効電力
Q = P·tan φ = 12·0.8819 = 10.58 kvar
答え
Q = 10.58 kvar
6.交流電力と力率
答え: QC = 10.72 kvar
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(45.57°) = 20.4 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(25.84°) = 9.686 kvar
QC = Q1 − Q2 = 10.72 kvar
答え
QC = 10.72 kvar
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.7005 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (169.5)²) = 171.3 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 120/171.3 = 0.7005 A
答え
I = 0.7005 A
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: Q = 47.67
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振周波数
f0 = 1/(2π·√(0.2·0.22·10⁻⁶)) = 758.7 Hz
Q 値
Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.2/(0.22·10⁻⁶)) = 47.67
答え
Q = 47.67
9.直流モーター
答え: η = 92 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電力
Pin = 240·10 = 2400 W
Pdev = 230·10 = 2300 W
Pout = 2300 − 92 = 2208 W
効率
η = 2208/2400·100 = 92 %
答え
η = 92 %
10.直流モーター
答え: n2 = 918.6 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
変化前と変化後の逆起電力
E1 = 240 − 40·0.2 = 232 V
E2 = 240 − 16·0.2 = 236.8 V
新しい速度
n2 = 900·236.8/232 = 918.6 rpm
答え
n2 = 918.6 rpm
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