心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

ある研究が事前登録されています。これはどういう意味ですか？

A研究がすでに公刊されている
Bデータ収集の前に、仮説、方法、分析計画が公開で記録されている
C参加者がオンラインで同意を登録している
D公表の前に、独立した 2 人目の統計家が結果を確認し承認した

2.心理学研究法むずかしい

多くの研究者が、p 値を効果量と信頼区間とともに報告すべきだと主張するのはなぜですか？

Ap 値は効果がどれほど大きく精密なのかを示さないから
Bp 値は仮説が正しい確率を示すから
C信頼区間は質的研究でしか必要ないから
D効果量があれば標本サイズは有意性と無関係になるから

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：59, 24, 37, 38, 31。

n = 5

s =

4.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 60、標準偏差 5 の正規分布に従います。63 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 60σ = 5x = 63

z =

5.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.3, 0.05, 0.3

σ =

6.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 10X − 3 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.35, 0.05, 0.35Y = 10X − 3

σ_Y =

7.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.0465 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.0465

z =

8.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

9.信頼区間ふつう

8 個からなる標本の平均は 51、標準偏差は s = 20 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 8x̄ = 51s = 2090%t(7) = 1.895

下限 =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 7 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 7E = 1.590%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 36 人の標本の平均点は 97.2、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 100x̄ = 97.2s = 12n = 36

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 5 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 5E = 390%

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6

r =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 9 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 9

x =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 1402 × 3

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.05 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。

N = 1403 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.心理学研究法

答え: B · データ収集の前に、仮説、方法、分析計画が公開で記録されている

これが答えになる理由

事前登録は確証的分析と探索的分析を区別し、p ハッキングや HARKing のような慣行を減らします。

答え

B · データ収集の前に、仮説、方法、分析計画が公開で記録されている

2.心理学研究法

答え: A · p 値は効果がどれほど大きく精密なのかを示さないから

これが答えになる理由

p 値は標本サイズに強く依存し、帰無仮説のもとでデータがどれほど意外かを示すだけです。効果量は大きさを、信頼区間は精度を示します。

答え

A · p 値は効果がどれほど大きく精密なのかを示さないから

3.記述統計

答え: s = 13.1

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 189/5 = 37.8

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 21.2² + (−13.8)² + (−0.8)² + 0.2² + (−6.8)² = 686.8

標準偏差

s = √(686.8/4) = 13.1

答え

s = 13.1

4.記述統計

答え: z = 0.6

標準化する

z = (63 − 60)/5 = 0.6

答え

z = 0.6

5.確率

答え: σ = 12.29

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 10·0.35 + 20·0.3 + 30·0.05 + 40·0.3 = 23

2 乗の平均

E(X²) = 100·0.35 + 400·0.3 + 900·0.05 + 1600·0.3 = 680

分散

Var(X) = 680 − 23² = 151

σ = √151 = 12.29

答え

σ = 12.29

6.確率

答え: σ_Y = 24.08

X のばらつき

μ = 3, Var(X) = 5.8, σ_X = 2.408

一次変換

σ_Y = |10|·2.408 = 24.08

答え

σ_Y = 24.08

平均は変化します：E(Y) = 10·3 − 3 = 27。

7.正規分布

答え: z = 1.68

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.0465 = 0.9535

z 表を逆に読む

表の中で 0.9535 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.68

答え

z = 1.68

8.正規分布

答え: P = 0.8133

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm

標準化する

z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89

確率

P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133

答え

P = 0.8133

9.信頼区間

答え: 下限 = 37.6

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 7, t = 1.895

誤差の幅

E = 1.895·20/√8 = 13.4

区間

51 ± 13.4 → [37.6, 64.4]

答え

下限 = 37.6

10.信頼区間

答え: n = 59

n について解く

n = (1.645·7/1.5)² = 58.93

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 59

答え

n = 59

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

検定統計量

t = (97.2 − 100)/2 = −1.4

答え

t = −1.4

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 8

n について解く

n = (1.645·5/3)² = 7.517

切り上げる

n = 8

答え

n = 8

13.線形回帰と相関

答え: r = −0.9784

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 100/6 = 16.67

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −49

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 143.3

相関係数

r = −49/√(17.5·143.3) = −0.9784

答え

r = −0.9784

14.線形回帰と相関

答え: x = 5.205

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 74/6 = 12.33

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

回帰直線

b = 130/70 = 1.857

a = 12.33 − 1.857·7 = −0.6667

ŷ = −0.6667 + 1.857·x

x について解く

x = (9 − (−0.6667))/1.857 = 5.205

答え

x = 5.205

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 6.101

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

日勤: 80·21/140 = 12, 80·56/140 = 32, 80·63/140 = 36

夜勤: 60·21/140 = 9, 60·56/140 = 24, 60·63/140 = 27

カイ二乗統計量

χ² = (11 − 12)²/12 + (39 − 32)²/32 + (30 − 36)²/36 + (10 − 9)²/9 + (17 − 24)²/24 + (33 − 27)²/27

χ² = 6.101

答え

χ² = 6.101

df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却される。

16.カイ二乗検定

答え: χ² = 9.01

期待度数

18～30 歳: 48, 12

31～50 歳: 32, 8

51 歳以上: 32, 8

カイ二乗統計量

χ² = (55 − 48)²/48 + (5 − 12)²/12 + (28 − 32)²/32 + (12 − 8)²/8 + (29 − 32)²/32 + (11 − 8)²/8

χ² = 9.01

判断

df = 2, χ²_crit = 5.991

9.01 > 5.991

答え

χ² = 9.01

χ² は臨界値より大きいので、H₀ は棄却されます：変数の間には関連があるようです。

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