記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
研究者がすべての学生に質問紙を送り、その後、回答者に、珍しい睡眠アプリを使っている友人を勧誘してもらいます。2 番目の段階で使われている標本抽出法はどれですか？
- Aスノーボール抽出
- B系統抽出
- C層化抽出
- D無作為抽出
2.心理学研究法むずかしい
参加者は薬か砂糖の錠剤を服用しますが、どちらかを知りません。一方、研究者は知っています。これはどのデザインで、どのようなバイアスが残りえますか？
- A単盲検。実験者バイアスはまだありうる
- B非盲検試験。プラセボ効果は完全に統制されている
- C単盲検。要求特性はありえない
- D二重盲検。バイアスはありえない
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：59, 55, 56, 26, 37。
n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 70、標準偏差 5 の正規分布に従います。76.25 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 70σ = 5x = 76.25
z =
5.確率ふつう
公正なさいころを 7 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 7
P =
6.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = 10X − 3 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.2, 0.2, 0.35Y = 10X − 3
σY =
7.正規分布ふつう
箱 の質量は互いに独立で、平均 12 kg、標準偏差 0.8 kg の正規分布に従います。そのうち 16 個の合計質量が 195.2 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 16> 195.2 kg
P =
8.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
9.信頼区間ふつう
13 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は −1.6、標準偏差は 8 です。 差の平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 13d̄ = −1.6sd = 899%t(12) = 3.055
E = mmHg
10.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 5 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 5E = 0.590%
n =
11.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 49 人の標本の平均点は 118.5、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120x̄ = 118.5s = 4n = 49
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 80 対 H₁: μ < 80 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 64 で行います。標準偏差は 4 であることがわかっています。実際の平均は 78.85 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 80μ = 78.85σ = 4n = 64α = 0.05
1 − β = %
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (6.5, 56) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(6.5, 56)
e =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。カイ二乗独立性検定のために、セル「都市部、低」の期待度数 E を求めなさい。
行の合計 = 101列の合計 = 41N = 190
E =
16.カイ二乗検定むずかしい
2 行 3 列（合計を除く）の分割表について、カイ二乗独立性検定を行います。 表を使って、有意水準 α = 0.01 での臨界値 χ²crit を求めなさい。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究法
答え: A · スノーボール抽出
これが答えになる理由
スノーボール抽出は接触しにくい集団に役立ちますが、標本は特性を共有しやすく、代表性はありません。
答え
A · スノーボール抽出
2.心理学研究法
答え: A · 単盲検。実験者バイアスはまだありうる
これが答えになる理由
単盲検デザインでは参加者が自分の条件を知らないため、プラセボへの期待は統制されます。研究者の知識はまだ結果に影響しうるため、二重盲検デザインが好まれます。
答え
A · 単盲検。実験者バイアスはまだありうる
3.記述統計
答え: s = 14.4
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 233/5 = 46.6
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 12.4² + 8.4² + 9.4² + (−20.6)² + (−9.6)² = 829.2
標準偏差
s = √(829.2/4) = 14.4
答え
s = 14.4
4.記述統計
答え: z = 1.25
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (76.25 − 70)/5 = 1.25
答え
z = 1.25
5.確率
答え: P = 0.7209
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209
答え
P = 0.7209
6.確率
答え: σY = 23.9
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 3.3, Var(X) = 5.71, σX = 2.39
一次変換
σY = |10|·2.39 = 23.9
答え
σY = 23.9
平均は変化します：E(Y) = 10·3.3 − 3 = 30。
7.正規分布
答え: P = 0.1587
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
合計の分布
μT = 192 kg, σT = 0.8·√16 = 3.2 kg
標準化する
z = (195.2 − 192)/3.2 = 1
確率
P = 1 − Φ(1) = 0.1587
答え
P = 0.1587
8.正規分布
答え: P = 0.9207
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01414 mm
標準化する
z = (0 − 0.02)/0.01414 = −1.41
確率
P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207
答え
P = 0.9207
9.信頼区間
答え: E = 6.778 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
臨界値
df = 12, t = 3.055
誤差の幅
E = 3.055·8/√13 = 6.778
答え
E = 6.778 mmHg
10.信頼区間
答え: n = 271
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·5/0.5)² = 270.6
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 271
答え
n = 271
11.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.625
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714
検定統計量
t = (118.5 − 120)/0.5714 = −2.625
答え
t = −2.625
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
12.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 74.38 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 4/√64 = 0.5
x̄c = 80 − 1.645·0.5 = 79.18
真の平均のもとでの z
z = (79.18 − 78.85)/0.5 = 0.655
電力
検出力 = P(Z < 0.655) = 74.38%
1 − β = 74.38%
答え
1 − β = 74.38%
13.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9863
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 123/5 = 24.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162
Syy = Σ(y − ȳ)² = 665.2
決定係数
r² = 162²/(40·665.2) = 0.9863
答え
r² = 0.9863
y の変動の約 98.63% が直線で説明されます。
14.線形回帰と相関
答え: e = −3.15
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 274/5 = 54.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 29
回帰直線
b = 29/10 = 2.9
a = 54.8 − 2.9·5 = 40.3
ŷ = 40.3 + 2.9·x
予測値
ŷ = 40.3 + 2.9·6.5 = 59.15
残差
e = 56 − 59.15 = −3.15
答え
e = −3.15
点は直線より下にあります。
15.カイ二乗検定
答え: E = 21.79
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
E = 101·41/190 = 21.79
答え
E = 21.79
16.カイ二乗検定
答え: χ²crit = 9.21
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
自由度
df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2
表
χ²crit(df = 2, α = 0.01) = 9.210
答え
χ²crit = 9.210
計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。
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