心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

平均 50 の 95% 信頼区間が 46 から 54 です。最も正確な解釈はどれですか？

A標本平均が 50 である確率が 95% である
B標本の個々の参加者の 95% が、その尺度で 46 から 54 の間の得点をとった
C用いた手続きは、95% の割合で真の平均を含む区間を生み出す
D結果は有意ではない

2.心理学研究法むずかしい

ある自己報告尺度で、多くの記述に同意する人が内容にかかわらず高い得点をとることがわかりました。これはどの反応バイアスで、どのように減らせますか？

A黙従バイアス。逆転項目を含める
B社会的望ましさのバイアス。より大きな標本を使う
C順序効果。参加者のカウンターバランスを使う
D要求特性。二重盲検デザインを使う

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：51, 25, 37, 50, 22。

n = 5

s =

4.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 70、標準偏差 20 の正規分布に従います。60 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 70σ = 20x = 60

z =

5.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.35, 0.35, 0.15, 0.1

Var(X) =

6.確率むずかしい

ゲームの参加費は €5 です。確率 0.1 で €15、確率 0.05 で €100 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €5€15: p = 0.1€100: p = 0.05

E(G) = €

7.正規分布ふつう

荷物を持つ乗客の質量は互いに独立で、平均 85 kg、標準偏差 12 kg の正規分布に従います。そのうち 4 個の合計質量が 352 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 352 kg

P =

8.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.04 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

9.信頼区間ふつう

16 個からなる標本の平均は 30、標準偏差は s = 4.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 16x̄ = 30s = 4.590%t(15) = 1.753

上限 =

10.信頼区間むずかしい

機械加工した 15 本の軸の直径の標本標準偏差は 9 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 14 のとき、χ² 分布の 2.5% は 5.629 より下に、2.5% は 26.119 より上にあります。

n = 15s = 9 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 36 人の標本の平均点は 123.5、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 123.5s = 10n = 36

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

64 回の測定の標本平均は 196.3 です。母標準偏差は 15 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 196.3σ = 15n = 6499%

L =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (2, 54) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(2, 54)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。カイ二乗独立性検定のために、セル「都市部、高」の期待度数 E を求めなさい。

行の合計 = 76列の合計 = 46N = 159

E =

16.カイ二乗検定むずかしい

2 行 11 列（合計を除く）の分割表について、カイ二乗独立性検定を行います。この検定の自由度 df はいくつですか？

2 × 11

df =

3溶液

1.心理学研究法

答え: C · 用いた手続きは、95% の割合で真の平均を含む区間を生み出す

これが答えになる理由

95% 信頼区間は母数のもっともらしい値の範囲を示します。標本が大きいほど区間が狭くなり、推定はより精密になります。

答え

C · 用いた手続きは、95% の割合で真の平均を含む区間を生み出す

2.心理学研究法

答え: A · 黙従バイアス。逆転項目を含める

これが答えになる理由

黙従は項目に同意する傾向です。肯定的な表現の項目と否定的な表現の項目を混ぜると、すべてに同意しても極端な得点にはならなくなります。

答え

A · 黙従バイアス。逆転項目を含める

3.記述統計

答え: s = 13.55

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 185/5 = 37

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 14² + (−12)² + 0² + 13² + (−15)² = 734

標準偏差

s = √(734/4) = 13.55

答え

s = 13.55

4.記述統計

答え: z = −0.5

標準化する

z = (60 − 70)/20 = −0.5

答え

z = −0.5

5.確率

答え: Var(X) = 1.09

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.05 + 1·0.35 + 2·0.35 + 3·0.15 + 4·0.1 = 1.9

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.05 + 1·0.35 + 4·0.35 + 9·0.15 + 16·0.1 = 4.7

分散

Var(X) = 4.7 − 1.9² = 1.09

答え

Var(X) = 1.09

6.確率

答え: E(G) = 1.5 €

純利得の結果

G: 10 (p = 0.1), 95 (p = 0.05), −5 (p = 0.85)

期待値

E(G) = 10·0.1 + 95·0.05 − 5·0.85 = 1.5 €

答え

E(G) = 1.5 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

7.正規分布

答え: P = 0.3085

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 340 kg, σ_T = 12·√4 = 24 kg

標準化する

z = (352 − 340)/24 = 0.5

確率

P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085

答え

P = 0.3085

8.正規分布

答え: P = 0.9452

差の分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.025 mm

標準化する

z = (0 − 0.04)/0.025 = −1.6

確率

P = 1 − Φ(−1.6) = 0.9452

答え

P = 0.9452

9.信頼区間

答え: 上限 = 31.97

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 15, t = 1.753

誤差の幅

E = 1.753·4.5/√16 = 1.972

区間

30 ± 1.972 → [28.03, 31.97]

答え

上限 = 31.97

10.信頼区間

答え: σ = 6.589 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 14·9² = 1134

σ² の限界

1134/26.119 = 43.42

1134/5.629 = 201.5

σ の限界

σ = √43.42 = 6.589 µm

答え

σ = 6.589 µm

σ の 95% 区間：[6.589, 14.19] µm。

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.1

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667

検定統計量

t = (123.5 − 120)/1.667 = 2.1

答え

t = 2.1

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

12.仮説検定と信頼区間

答え: L = 191.5

誤差の幅

E = 2.576·15/√64 = 4.83

区間の端

L = 196.3 − 4.83 = 191.5

答え

L = 191.5

13.線形回帰と相関

答え: r = 0.9742

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 288/5 = 57.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 195

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 445.2

相関係数

r = 195/√(90·445.2) = 0.9742

答え

r = 0.9742

14.線形回帰と相関

答え: e = 4.8

平均

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 303/5 = 60.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

回帰直線

b = 152/40 = 3.8

a = 60.6 − 3.8·5 = 41.6

ŷ = 41.6 + 3.8·x

予測値

ŷ = 41.6 + 3.8·2 = 49.2

残差

e = 54 − 49.2 = 4.8

答え

e = 4.8

点は直線より上にあります。

15.カイ二乗検定

答え: E = 21.99

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

E = 76·46/159 = 21.99

答え

E = 21.99

16.カイ二乗検定

答え: df = 10

自由度

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

答え

df = 10

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