記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
反復測定デザインで順序効果を統制するには何を用いますか？
- A標本を大きくするだけ
- B単盲検法
- C無作為抽出
- Dカウンターバランス
2.心理学研究法むずかしい
研究者が悲しい映画を見せて気分を操作し、主課題の前にどれだけ悲しいと感じるかを参加者に評定してもらいます。この評定を含めるのはなぜですか？
- A独立変数が意図どおりに働いたことを確かめる操作チェックとして
- B研究の主な従属変数として
- C条件の順序をカウンターバランスするため
- D参加者に目的をデブリーフィングするため
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：43, 53, 41, 39, 44, 40。
n = 6
s =
4.記述統計むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 5 の正規分布に従います。57.5 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60σ = 5x = 57.5
P =
5.確率ふつう
公正なさいころを 7 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 7
P =
6.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 10 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 3 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 10p = 0.5k = 3
P =
7.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.9382 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.9382
z =
8.正規分布むずかしい
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 97.5% がそれより下にある値 x（第 97.5 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 178σ = 7P = 97.5%
x = cm
9.信頼区間ふつう
21 個からなる標本の平均は 105、標準偏差は s = 14 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 21x̄ = 105s = 1499%t(20) = 2.845
上限 =
10.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 24 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 4 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 24E = 499%
n =
11.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 495.5、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 500x̄ = 495.5s = 15n = 36
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 2.5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 8 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.01検出力 = 80%δ = 2.5σ = 8zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 20Σy = 281Σx² = 90Σy² = 16119Σxy = 1177
r =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (4.5, 42) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(4.5, 42)
e =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
N = 2002 × 2
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
2 行 11 列（合計を除く）の分割表について、カイ二乗独立性検定を行います。 この検定の自由度 df はいくつですか？
2 × 11
df =
3溶液
1.心理学研究法
答え: D · カウンターバランス
これが答えになる理由
カウンターバランスにより、練習効果や疲労効果が条件間に均等に配分されます。
答え
D · カウンターバランス
2.心理学研究法
答え: A · 独立変数が意図どおりに働いたことを確かめる操作チェックとして
これが答えになる理由
操作チェックは、独立変数が意図した心理状態を生み出したことを確認します。それがないと、帰無結果は操作が失敗したことを意味しているかもしれません。
答え
A · 独立変数が意図どおりに働いたことを確かめる操作チェックとして
3.記述統計
答え: s = 5.086
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 260/6 = 43.33
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−0.3333)² + 9.667² + (−2.333)² + (−4.333)² + 0.6667² + (−3.333)² = 129.3
標準偏差
s = √(129.3/5) = 5.086
答え
s = 5.086
4.記述統計
答え: P = 0.6915
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −0.5
標準正規分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
答え
P = 0.6915
5.確率
答え: P = 0.7209
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209
答え
P = 0.7209
6.確率
答え: P = 0.1172
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 3) = 120·0.53·0.57 = 120·0.125·0.007813 = 0.1172
答え
P = 0.1172
7.正規分布
答え: z = −1.54
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.9382 = 0.0618
z 表を逆に読む
表の中で 0.0618 を見つけ、z を読み取ります。
z = −1.54
答え
z = −1.54
8.正規分布
答え: x = 191.7 cm
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
x に戻す
x = 178 + 1.96·7 = 191.72 cm
答え
x = 191.72 cm
9.信頼区間
答え: 上限 = 113.7
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 20, t = 2.845
誤差の幅
E = 2.845·14/√21 = 8.692
区間
105 ± 8.692 → [96.31, 113.7]
答え
上限 = 113.7
10.信頼区間
答え: n = 239
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·24/4)² = 238.9
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 239
答え
n = 239
11.仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.8
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5
検定統計量
t = (495.5 − 500)/2.5 = −1.8
答え
t = −1.8
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
12.仮説検定と信頼区間
答え: n = 103
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((2.326 + 0.842)·8/2.5)² = 102.8
切り上げる
n = 103
答え
n = 103
13.線形回帰と相関
答え: r = 0.9271
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 1177 − 20·281/5 = 53
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 16119 − 281²/5 = 326.8
相関係数
r = 53/√(10·326.8) = 0.9271
答え
r = 0.9271
14.線形回帰と相関
答え: e = 2.95
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 203/5 = 40.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31
回帰直線
b = 31/10 = 3.1
a = 40.6 − 3.1·5 = 25.1
ŷ = 25.1 + 3.1·x
予測値
ŷ = 25.1 + 3.1·4.5 = 39.05
残差
e = 42 − 39.05 = 2.95
答え
e = 2.95
点は直線より上にあります。
15.カイ二乗検定
答え: χ² = 8.681
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
新薬: 120·80/200 = 48, 120·120/200 = 72
プラセボ: 80·80/200 = 32, 80·120/200 = 48
カイ二乗統計量
χ² = (58 − 48)²/48 + (62 − 72)²/72 + (22 − 32)²/32 + (58 − 48)²/48
χ² = 8.681
答え
χ² = 8.681
df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却される。
16.カイ二乗検定
答え: df = 10
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
自由度
df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10
答え
df = 10
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