心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

観察研究における事象見本法とはどういう意味ですか？

A参加者を無作為に選ぶこと
B一定の時間間隔でだけ行動を記録すること
C特定の行動が起こるたびに記録すること
D参加者が報告した出来事だけを記録すること

2.心理学研究法むずかしい

グラウンデッド・セオリーでは、データ収集はいつまで続けますか？

A元の仮説が確証されるまで
B0.05 未満の p 値が得られるまで
C理論的飽和に達し、新しいデータが新しいカテゴリーを加えなくなるまで
D少なくとも 1,000 人の参加者にインタビューするまで

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：48, 37, 32, 49, 37, 44。

n = 6

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 60、標準偏差 5 の正規分布に従います。63 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 60σ = 5x = 63

P =

5.確率ふつう

袋に赤玉 7 個と青玉 5 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

7 / 5

P =

6.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 6 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.3 で正解します。ちょうど 3 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 6p = 0.3k = 3

P =

7.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.0643 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.0643

z =

8.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。全体の 80% がそれより下にある値 x（第 80 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 100σ = 15P = 80%

x = 点

9.信頼区間ふつう

8 個からなる標本の平均は 105、標準偏差は s = 10.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 8x̄ = 105s = 10.595%t(7) = 2.365

上限 =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 31 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 31E = 399%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 36 人の標本の平均点は 203.9、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 200x̄ = 203.9s = 8n = 36

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 4 単位のずれを検出力 95% で検出しなければなりません。標準偏差は 7 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.01検出力 = 95%δ = 4σ = 7z_α = 2.326z_β = 1.645

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6

r² =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (24, 102) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(24, 102)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。カイ二乗独立性検定のために、セル「学生、バス」の期待度数 E を求めなさい。

行の合計 = 79列の合計 = 34N = 149

E =

16.カイ二乗検定むずかしい

表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.01 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。

N = 2203 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.心理学研究法

答え: C · 特定の行動が起こるたびに記録すること

これが答えになる理由

事象見本法は標的行動の生起を 1 回ずつ数えます。時間見本法は、例えば 30 秒ごとなど、決まった間隔で起きていることを記録します。

答え

C · 特定の行動が起こるたびに記録すること

2.心理学研究法

答え: C · 理論的飽和に達し、新しいデータが新しいカテゴリーを加えなくなるまで

これが答えになる理由

グラウンデッド・セオリーは、データの収集とコード化を並行して行いながら帰納的に理論を発展させ、新しいデータがカテゴリーをもう発展させなくなったら標本抽出を止めます。

答え

C · 理論的飽和に達し、新しいデータが新しいカテゴリーを加えなくなるまで

3.記述統計

答え: s = 6.853

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 247/6 = 41.17

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 6.833² + (−4.167)² + (−9.167)² + 7.833² + (−4.167)² + 2.833² = 234.8

標準偏差

s = √(234.8/5) = 6.853

答え

s = 6.853

4.記述統計

答え: P = 0.2743

標準化する

z = 0.6

標準正規分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答え

P = 0.2743

5.確率

答え: P = 0.3182

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0.3182

答え

P = 0.3182

6.確率

答え: P = 0.1852

二項分布の公式

P(X = 3) = 20·0.3³·0.7³ = 20·0.027·0.343 = 0.1852

答え

P = 0.1852

7.正規分布

答え: z = 1.52

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.0643 = 0.9357

z 表を逆に読む

表の中で 0.9357 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.52

答え

z = 1.52

8.正規分布

答え: x = 112.6 点

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

x に戻す

x = 100 + 0.8416·15 = 112.62 点

答え

x = 112.62 点

9.信頼区間

答え: 上限 = 113.8

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 7, t = 2.365

誤差の幅

E = 2.365·10.5/√8 = 8.78

区間

105 ± 8.78 → [96.22, 113.8]

答え

上限 = 113.8

10.信頼区間

答え: n = 709

n について解く

n = (2.576·31/3)² = 708.6

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 709

答え

n = 709

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.925

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

検定統計量

t = (203.9 − 200)/1.333 = 2.925

答え

t = 2.925

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 49

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((2.326 + 1.645)·7/4)² = 48.29

切り上げる

n = 49

答え

n = 49

13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.942

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 117/6 = 19.5

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 33.5

決定係数

r² = −23.5²/(17.5·33.5) = 0.942

答え

r² = 0.942

y の変動の約 94.2% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: e = 3.7

平均

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 424/5 = 84.8

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

回帰直線

b = 180/40 = 4.5

a = 84.8 − 4.5·21 = −9.7

ŷ = −9.7 + 4.5·x

予測値

ŷ = −9.7 + 4.5·24 = 98.3

残差

e = 102 − 98.3 = 3.7

答え

e = 3.7

点は直線より上にあります。

15.カイ二乗検定

答え: E = 18.03

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

E = 79·34/149 = 18.03

答え

E = 18.03

16.カイ二乗検定

答え: χ² = 26

期待度数

ライン 1: 42, 18

ライン 2: 42, 18

ライン 3: 70, 30

カイ二乗統計量

χ² = (27 − 42)²/42 + (33 − 18)²/18 + (51 − 42)²/42 + (9 − 18)²/18 + (76 − 70)²/70 + (24 − 30)²/30

χ² = 26

判断

df = 2, χ²_crit = 9.210

26 > 9.210

答え

χ² = 26

χ² は臨界値より大きいので、H₀ は棄却されます：変数の間には関連があるようです。

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