心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

研究者がすべての学生に質問紙を送り、その後、回答者に、珍しい睡眠アプリを使っている友人を勧誘してもらいます。2 番目の段階で使われている標本抽出法はどれですか？

A系統抽出
B無作為抽出
Cスノーボール抽出
D層化抽出

2.心理学研究法むずかしい

心理学における「再現性の危機」とは何を指しますか？

A実験の参加者が不足していること
B発表された多くの知見が新しい研究で再現されないこと
C許可なく質問紙をコピーすること
D提出された追試研究をすべて却下することが、雑誌に法的に義務づけられていること

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：28, 45, 35, 34, 17, 31, 18。

n = 7

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 500、標準偏差 60 の正規分布に従います。536 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 500σ = 60x = 536

P =

5.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.2, 0.3, 0.15, 0.25

Var(X) =

6.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 0.5X − 3 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.05, 0.1, 0.35, 0.2Y = 0.5X − 3

σ_Y =

7.正規分布ふつう

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。171.35 から 188.85 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 178σ = 7x₁ = 171.35x₂ = 188.85

P =

8.正規分布むずかしい

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.信頼区間ふつう

13 個からなる標本の平均は 83.5、標準偏差は s = 13 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 13x̄ = 83.5s = 1395%t(12) = 2.179

上限 =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 20 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 20E = 0.599%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 81 人の標本の平均点は 118.4、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 118.4s = 8n = 81

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 3 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 27 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.05検出力 = 80%δ = 3σ = 27z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5

r² =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 91 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 91

x =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。カイ二乗独立性検定のために、セル「都市部、低」の期待度数 E を求めなさい。

行の合計 = 105列の合計 = 70N = 184

E =

16.カイ二乗検定むずかしい

カイ二乗適合度検定で、10 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。表を使って、有意水準 α = 0.01 での臨界値 χ²_crit を求めなさい。

α = 0.01

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究法

答え: C · スノーボール抽出

これが答えになる理由

スノーボール抽出は接触しにくい集団に役立ちますが、標本は特性を共有しやすく、代表性はありません。

答え

C · スノーボール抽出

2.心理学研究法

答え: B · 発表された多くの知見が新しい研究で再現されないこと

これが答えになる理由

大規模な追試プロジェクトでは、多くの効果がより小さいか存在しないことが示され、出版バイアス、小標本、柔軟すぎる分析と関連づけられました。事前登録はその対策の一つです。

答え

B · 発表された多くの知見が新しい研究で再現されないこと

3.記述統計

答え: s = 9.861

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 208/7 = 29.71

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−1.714)² + 15.29² + 5.286² + 4.286² + (−12.71)² + 1.286² + (−11.71)² = 583.4

標準偏差

s = √(583.4/6) = 9.861

答え

s = 9.861

4.記述統計

答え: P = 0.7257

標準化する

z = 0.6

標準正規分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

答え

P = 0.7257

5.確率

答え: Var(X) = 1.688

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.1 + 1·0.2 + 2·0.3 + 3·0.15 + 4·0.25 = 2.25

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.2 + 4·0.3 + 9·0.15 + 16·0.25 = 6.75

分散

Var(X) = 6.75 − 2.25² = 1.688

答え

Var(X) = 1.688

6.確率

答え: σ_Y = 0.773

X のばらつき

μ = 2.1, Var(X) = 2.39, σ_X = 1.546

一次変換

σ_Y = |0.5|·1.546 = 0.773

答え

σ_Y = 0.773

平均は変化します：E(Y) = 0.5·2.1 − 3 = −1.95。

7.正規分布

答え: P = 0.7684

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (171.35 − 178)/7 = −0.95

z₂ = (188.85 − 178)/7 = 1.55

間の面積

P = Φ(1.55) − Φ(−0.95) = 0.9394 − 0.1711 = 0.7684

答え

P = 0.7684

8.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

9.信頼区間

答え: 上限 = 91.36

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 12, t = 2.179

誤差の幅

E = 2.179·13/√13 = 7.856

区間

83.5 ± 7.856 → [75.64, 91.36]

答え

上限 = 91.36

10.信頼区間

答え: n = 10618

n について解く

n = (2.576·20/0.5)² = 10617

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 10618

答え

n = 10618

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.8

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889

検定統計量

t = (118.4 − 120)/0.8889 = −1.8

答え

t = −1.8

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 501

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((1.645 + 0.842)·27/3)² = 501

切り上げる

n = 501

答え

n = 501

13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.8721

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 158/5 = 31.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 103.2

決定係数

r² = 30²/(10·103.2) = 0.8721

答え

r² = 0.8721

y の変動の約 87.21% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: x = 8.982

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 476/6 = 79.33

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 412

回帰直線

b = 412/70 = 5.886

a = 79.33 − 5.886·7 = 38.13

ŷ = 38.13 + 5.886·x

x について解く

x = (91 − 38.13)/5.886 = 8.982

答え

x = 8.982

15.カイ二乗検定

答え: E = 39.95

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

E = 105·70/184 = 39.95

答え

E = 39.95

16.カイ二乗検定

答え: χ²_crit = 21.67

自由度

df = 10 − 1 = 9

表

χ²_crit(df = 9, α = 0.01) = 21.666

答え

χ²_crit = 21.666

計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。

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