記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
正規分布では、得点のおよそ何パーセントが平均から 1 標準偏差以内にありますか？
- A50%
- B68%
- C99.7%
- D95%
2.心理学研究法むずかしい
心理学における「再現性の危機」とは何を指しますか？
- A提出された追試研究をすべて却下することが、雑誌に法的に義務づけられていること
- B発表された多くの知見が新しい研究で再現されないこと
- C実験の参加者が不足していること
- D許可なく質問紙をコピーすること
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：32, 13, 60, 37, 37, 28。
n = 6
s =
4.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 170、標準偏差 10 の正規分布に従います。165 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 170σ = 10x = 165
z =
5.確率ふつう
袋に赤玉 3 個と青玉 6 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
3 / 6
P =
6.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = −2X + 1 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.35, 0.3, 0.1Y = −2X + 1
σY =
7.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.3328 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.3328
z =
8.正規分布むずかしい
走者 A の周回タイム X と走者 B の周回タイム Y は独立な正規変数です：X は平均 52 s、標準偏差 4 s、Y は平均 48 s、標準偏差 3 s です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.信頼区間ふつう
25 個からなる標本の平均は 40.5、標準偏差は s = 12 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 25x̄ = 40.5s = 1295%t(24) = 2.064
E =
10.信頼区間むずかしい
機械加工した 16 本の軸の直径の標本標準偏差は 8.4 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 15 のとき、χ² 分布の 2.5% は 6.262 より下に、2.5% は 27.488 より上にあります。
n = 16s = 8.4 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
11.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 81 人の標本の平均点は 198.4、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 198.4s = 10n = 81
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
64 回の測定の標本平均は 195.5 です。母標準偏差は 12 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 195.5σ = 12n = 6499%
L =
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 25Σy = 381Σx² = 165Σy² = 30725Σxy = 2165
r =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (2.5, 25) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(2.5, 25)
e =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
N = 2002 × 2
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
カイ二乗適合度検定で、9 個のカテゴリーの度数が、同じデータから平均を推定したポアソン分布に従うかどうかを調べます。 表を使って、有意水準 α = 0.01 での臨界値 χ²crit を求めなさい。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究法
答え: B · 68%
これが答えになる理由
得点の約 68% が ±1 SD 以内、約 95% が ±2 SD 以内、約 99.7% が ±3 SD 以内に入ります。
答え
B · 68%
2.心理学研究法
答え: B · 発表された多くの知見が新しい研究で再現されないこと
これが答えになる理由
大規模な追試プロジェクトでは、多くの効果がより小さいか存在しないことが示され、出版バイアス、小標本、柔軟すぎる分析と関連づけられました。事前登録はその対策の一つです。
答え
B · 発表された多くの知見が新しい研究で再現されないこと
3.記述統計
答え: s = 15.32
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 207/6 = 34.5
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−2.5)² + (−21.5)² + 25.5² + 2.5² + 2.5² + (−6.5)² = 1174
標準偏差
s = √(1174/5) = 15.32
答え
s = 15.32
4.記述統計
答え: z = −0.5
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (165 − 170)/10 = −0.5
答え
z = −0.5
5.確率
答え: P = 0.08333
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0.08333
答え
P = 0.08333
6.確率
答え: σY = 3.768
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 2.5, Var(X) = 3.55, σX = 1.884
一次変換
σY = |−2|·1.884 = 3.768
答え
σY = 3.768
平均は変化します：E(Y) = −2·2.5 + 1 = −4。
7.正規分布
答え: z = 0.43
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = (1 + 0.3328)/2 = 0.6664
z 表を逆に読む
表の中で 0.6664 を見つけ、z を読み取ります。
z = 0.43
答え
z = 0.43
8.正規分布
答え: P = 0.7881
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
標準化する
z = (0 − 4)/5 = −0.8
確率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答え
P = 0.7881
9.信頼区間
答え: E = 4.954
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 24, t = 2.064
誤差の幅
E = 2.064·12/√25 = 4.954
答え
E = 4.954
10.信頼区間
答え: σ = 6.205 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 15·8.4² = 1058
σ² の限界
1058/27.488 = 38.5
1058/6.262 = 169
σ の限界
σ = √38.5 = 6.205 µm
答え
σ = 6.205 µm
σ の 95% 区間：[6.205, 13] µm。
11.仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.44
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 10/√81 = 10/9 = 1.111
検定統計量
t = (198.4 − 200)/1.111 = −1.44
答え
t = −1.44
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
12.仮説検定と信頼区間
答え: L = 191.6
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 2.576·12/√64 = 3.864
区間の端
L = 195.5 − 3.864 = 191.6
答え
L = 191.6
13.線形回帰と相関
答え: r = 0.9992
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 2165 − 25·381/5 = 260
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 30725 − 381²/5 = 1693
相関係数
r = 260/√(40·1693) = 0.9992
答え
r = 0.9992
14.線形回帰と相関
答え: e = 5.05
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 95/5 = 19
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
回帰直線
b = −19/10 = −1.9
a = 19 − (−1.9)·3 = 24.7
ŷ = 24.7 − 1.9·x
予測値
ŷ = 24.7 + (−1.9)·2.5 = 19.95
残差
e = 25 − 19.95 = 5.05
答え
e = 5.05
点は直線より上にあります。
15.カイ二乗検定
答え: χ² = 0.09524
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
男性: 100·60/200 = 30, 100·140/200 = 70
女性: 100·60/200 = 30, 100·140/200 = 70
カイ二乗統計量
χ² = (31 − 30)²/30 + (69 − 70)²/70 + (29 − 30)²/30 + (71 − 70)²/70
χ² = 0.09524
答え
χ² = 0.09524
df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却されない。
16.カイ二乗検定
答え: χ²crit = 18.48
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
自由度
df = 9 − 1 − 1 = 7
表
χ²crit(df = 7, α = 0.01) = 18.475
答え
χ²crit = 18.475
計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology