心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

実験で標準化された教示を使うのは何のためですか？

A結果が統計的に有意になるようにするため
B参加者が自分の条件を選べるようにするため
C研究者が各参加者のニーズに合わせて手続きを調整できるようにするため
Dすべての参加者が同じ情報を同じ方法で受け取るようにするため

2.心理学研究法むずかしい

研究者が悲しい映画を見せて気分を操作し、主課題の前にどれだけ悲しいと感じるかを参加者に評定してもらいます。この評定を含めるのはなぜですか？

A研究の主な従属変数として
B参加者に目的をデブリーフィングするため
C独立変数が意図どおりに働いたことを確かめる操作チェックとして
D条件の順序をカウンターバランスするため

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：16, 33, 19, 47, 50, 51。

n = 6

s =

4.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。73.2 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 70σ = 8x = 73.2

z =

5.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.1, 0.35, 0.25

σ =

6.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 10X + 4 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.35, 0.3, 0.15Y = 10X + 4

σ_Y =

7.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.9146 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9146

z =

8.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの上位 20% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

9.信頼区間ふつう

25 個からなる標本の平均は 53.5、標準偏差は s = 20 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 25x̄ = 53.5s = 2090%t(24) = 1.711

上限 =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 15 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 15E = 2.590%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

ある母集団の平均は 250 であると主張されています。母標準偏差は 8 であることがわかっています。64 個の観測値からなる無作為標本の平均は 252.16 です。H₀: μ = 250 対 H₁: μ > 250 を検定します。p 値 p を求めなさい。

μ₀ = 250σ = 8n = 64x̄ = 252.16H₁: μ > μ₀

p =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 2 単位のずれを検出力 90% で検出しなければなりません。標準偏差は 14 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.01検出力 = 90%δ = 2σ = 14z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5

r² =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (1.5, 21) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(1.5, 21)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 802 × 2

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

カイ二乗適合度検定で、8 個のカテゴリーの度数が、同じデータから平均を推定したポアソン分布に従うかどうかを調べます。表を使って、有意水準 α = 0.01 での臨界値 χ²_crit を求めなさい。

α = 0.01

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究法

答え: D · すべての参加者が同じ情報を同じ方法で受け取るようにするため

これが答えになる理由

標準化によって、手続きのばらつきが剰余変数になるのを防ぎ、研究を再現可能にします。

答え

D · すべての参加者が同じ情報を同じ方法で受け取るようにするため

2.心理学研究法

答え: C · 独立変数が意図どおりに働いたことを確かめる操作チェックとして

これが答えになる理由

操作チェックは、独立変数が意図した心理状態を生み出したことを確認します。それがないと、帰無結果は操作が失敗したことを意味しているかもしれません。

答え

C · 独立変数が意図どおりに働いたことを確かめる操作チェックとして

3.記述統計

答え: s = 15.75

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 216/6 = 36

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−20)² + (−3)² + (−17)² + 11² + 14² + 15² = 1240

標準偏差

s = √(1240/5) = 15.75

答え

s = 15.75

4.記述統計

答え: z = 0.4

標準化する

z = (73.2 − 70)/8 = 0.4

答え

z = 0.4

5.確率

答え: σ = 1.161

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 1·0.3 + 2·0.1 + 3·0.35 + 4·0.25 = 2.55

2 乗の平均

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.1 + 9·0.35 + 16·0.25 = 7.85

分散

Var(X) = 7.85 − 2.55² = 1.348

σ = √1.348 = 1.161

答え

σ = 1.161

6.確率

答え: σ_Y = 9.695

X のばらつき

μ = 1.4, Var(X) = 0.94, σ_X = 0.9695

一次変換

σ_Y = |10|·0.9695 = 9.695

答え

σ_Y = 9.695

平均は変化します：E(Y) = 10·1.4 + 4 = 18。

7.正規分布

答え: z = 1.72

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.9146)/2 = 0.9573

z 表を逆に読む

表の中で 0.9573 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.72

答え

z = 1.72

8.正規分布

答え: x = 254.2 g

左側の面積

Φ(z) = 0.8

表からの z

z ≈ 0.84

元の単位に戻す

x = 250 + 0.84·5 = 254.2 g

答え

x = 254.2 g

9.信頼区間

答え: 上限 = 60.34

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 24, t = 1.711

誤差の幅

E = 1.711·20/√25 = 6.844

区間

53.5 ± 6.844 → [46.66, 60.34]

答え

上限 = 60.34

10.信頼区間

答え: n = 98

n について解く

n = (1.645·15/2.5)² = 97.42

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 98

答え

n = 98

11.仮説検定と信頼区間

答え: p = 0.01539

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

検定統計量

SE = σ/√n = 8/√64 = 1

z = (252.16 − 250)/1 = 2.16

裾の面積

Φ(2.16) = 0.9846

1 − Φ(2.16) = 0.0154

p 値

p = 0.01539

答え

p = 0.01539

p ≤ 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されます。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 638

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((2.326 + 1.282)·14/2)² = 637.9

切り上げる

n = 638

答え

n = 638

13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9688

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 78/5 = 15.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 99.2

決定係数

r² = 62²/(40·99.2) = 0.9688

答え

r² = 0.9688

y の変動の約 96.88% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: e = −4.85

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 112/5 = 22.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

回帰直線

b = −23/10 = −2.3

a = 22.4 − (−2.3)·3 = 29.3

ŷ = 29.3 − 2.3·x

予測値

ŷ = 29.3 + (−2.3)·1.5 = 25.85

残差

e = 21 − 25.85 = −4.85

答え

e = −4.85

点は直線より下にあります。

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 1.978

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

喫煙者: 40·52/80 = 26, 40·28/80 = 14

非喫煙者: 40·52/80 = 26, 40·28/80 = 14

カイ二乗統計量

χ² = (29 − 26)²/26 + (11 − 14)²/14 + (23 − 26)²/26 + (17 − 14)²/14

χ² = 1.978

答え

χ² = 1.978

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却されない。

16.カイ二乗検定

答え: χ²_crit = 16.81

自由度

df = 8 − 1 − 1 = 6

表

χ²_crit(df = 6, α = 0.01) = 16.812

答え

χ²_crit = 16.812

計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。

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