記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
15 項目の不安尺度のクロンバックのアルファが 0.88 です。これは何を示していますか？
- A尺度が不安に有意な効果を持つ
- B得点が 6 か月間安定している
- C尺度が将来の不安をよく予測する
- D項目の内的一貫性が良好である
2.心理学研究法むずかしい
実験で参加者を条件に無作為に割り当てる主な目的は何ですか？
- A結果が一般化できるよう、標本を対象とする母集団の代表にするため
- B参加者変数を均等に分配し、結果を交絡させないようにする
- C参加者が目的を知らないようにする
- D回答率を上げる
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：51, 22, 14, 11, 17, 54, 14。
n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
ある量は平均 50、標準偏差 8 の正規分布に従います。38 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 50σ = 8x = 38
P =
5.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
σ =
6.確率むずかしい
部品を 6 個試験し、各部品は独立に確率 0.2 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 6p = 0.2
P =
7.正規分布ふつう
試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。60 から 67 点 の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 65σ = 10x1 = 60x2 = 67
P =
8.正規分布むずかしい
ある集団の男性の身長 X と女性の身長 Y は独立な正規変数です：X は平均 180 cm、標準偏差 10 cm、Y は平均 170 cm、標準偏差 12 cm です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.信頼区間ふつう
9 個からなる標本の平均は 82.5、標準偏差は s = 11 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 9x̄ = 82.5s = 1190%t(8) = 1.86
E =
10.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 20 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 20E = 0.590%
n =
11.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 16 人の標本の平均点は 90.7、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 100x̄ = 90.7s = 12n = 16
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 8 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 8E = 290%
n =
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (3.5, 21) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(3.5, 21)
e =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
N = 1402 × 2
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
カイ二乗適合度検定で、5 個のカテゴリーの度数が、同じデータから平均を推定したポアソン分布に従うかどうかを調べます。 この検定の自由度 df はいくつですか？
k = 5
df =
3溶液
1.心理学研究法
答え: D · 項目の内的一貫性が良好である
これが答えになる理由
クロンバックのアルファは内的一貫性を推定します。約 0.7 以上の値が通常は受け入れられるとされます。それだけでは妥当性は示されません。
答え
D · 項目の内的一貫性が良好である
2.心理学研究法
答え: B · 参加者変数を均等に分配し、結果を交絡させないようにする
これが答えになる理由
無作為割り当ては条件間の個人差を均衡させ、因果的な結論を支えます。無作為抽出は母集団への一般化に関わります。
答え
B · 参加者変数を均等に分配し、結果を交絡させないようにする
3.記述統計
答え: s = 18.34
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 183/7 = 26.14
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 24.86² + (−4.143)² + (−12.14)² + (−15.14)² + (−9.143)² + 27.86² + (−12.14)² = 2019
標準偏差
s = √(2019/6) = 18.34
答え
s = 18.34
4.記述統計
答え: P = 0.06681
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1.5
標準正規分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答え
P = 0.06681
5.確率
答え: σ = 0.8047
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55
分散
Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047
答え
σ = 0.8047
6.確率
答え: P = 0.6554
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.86 = 0.2621
P(X = 1) = 6·0.2·0.85 = 0.3932
足し合わせる
P = 0.2621 + 0.3932 = 0.6554
答え
P = 0.6554
7.正規分布
答え: P = 0.2707
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (60 − 65)/10 = −0.5
z₂ = (67 − 65)/10 = 0.2
間の面積
P = Φ(0.2) − Φ(−0.5) = 0.5793 − 0.3085 = 0.2707
答え
P = 0.2707
8.正規分布
答え: P = 0.7389
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
標準化する
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
確率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答え
P = 0.7389
9.信頼区間
答え: E = 6.82
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 8, t = 1.86
誤差の幅
E = 1.86·11/√9 = 6.82
答え
E = 6.82
10.信頼区間
答え: n = 4330
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·20/0.5)² = 4330
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 4330
答え
n = 4330
11.仮説検定と信頼区間
答え: t = −3.1
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
検定統計量
t = (90.7 − 100)/3 = −3.1
答え
t = −3.1
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| > 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
12.仮説検定と信頼区間
答え: n = 44
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (1.645·8/2)² = 43.3
切り上げる
n = 44
答え
n = 44
13.線形回帰と相関
答え: r² = 0.7579
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 254/5 = 50.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31
Syy = Σ(y − ȳ)² = 126.8
決定係数
r² = 31²/(10·126.8) = 0.7579
答え
r² = 0.7579
y の変動の約 75.79% が直線で説明されます。
14.線形回帰と相関
答え: e = −3.4
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 127/5 = 25.4
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20
回帰直線
b = −20/10 = −2
a = 25.4 − (−2)·3 = 31.4
ŷ = 31.4 − 2·x
予測値
ŷ = 31.4 + (−2)·3.5 = 24.4
残差
e = 21 − 24.4 = −3.4
答え
e = −3.4
点は直線より下にあります。
15.カイ二乗検定
答え: χ² = 1.5
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
新薬: 40·98/140 = 28, 40·42/140 = 12
プラセボ: 100·98/140 = 70, 100·42/140 = 30
カイ二乗統計量
χ² = (31 − 28)²/28 + (9 − 12)²/12 + (67 − 70)²/70 + (33 − 30)²/30
χ² = 1.5
答え
χ² = 1.5
df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却されない。
16.カイ二乗検定
答え: df = 3
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
自由度
df = 5 − 1 − 1 = 3
答え
df = 3
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