心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

p 値が 0.03 であるとは、どういう意味ですか？

A効果が大きい
B結果は 97% の確率で再現される
C帰無仮説が正しいとすると、これほど極端なデータが得られるのは約 3% である
D観察されたデータのもとで、帰無仮説が正しい確率は 3% しかない

2.心理学研究法むずかしい

ある研究で、プロのバスケットボール選手だけを対象にしたところ、身長と IQ の相関は r = 0.05 でしたが、一般の母集団ではもっと高い値です。この弱い相関を最もよく説明するのはどれですか？

A要求特性
B範囲の制限（切断効果）
CIQ テストの天井効果
D平均への回帰

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：55, 39, 52, 23, 39, 28, 52。

n = 7

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 70、標準偏差 10 の正規分布に従います。65 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 70σ = 10x = 65

P =

5.確率ふつう

14 人のグループから 5 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。

n = 14k = 5

N =

6.確率むずかしい

部品を 6 個試験し、各部品は独立に確率 0.1 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 6p = 0.1

P =

7.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.2586 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.2586

z =

8.正規分布むずかしい

走者 A の周回タイム X と走者 B の周回タイム Y は独立な正規変数です：X は平均 52 s、標準偏差 4 s、Y は平均 48 s、標準偏差 3 s です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.信頼区間ふつう

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：30 台、平均 109 h、既知の標準偏差 5 h。機種 2：80 台、平均 102.5 h、既知の標準偏差 3 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n₁ = 30x̄₁ = 109 hσ₁ = 5 hn₂ = 80x̄₂ = 102.5 hσ₂ = 3 h90%

上限 = h

10.信頼区間むずかしい

機械加工した 15 本の軸の直径の標本標準偏差は 2.7 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 14 のとき、χ² 分布の 2.5% は 5.629 より下に、2.5% は 26.119 より上にあります。

n = 15s = 2.7 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 16 人の標本の平均点は 116.5、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 116.5s = 10n = 16

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 5 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 5E = 299%

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6

r² =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (4.5, 23) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(4.5, 23)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 1402 × 3

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

カイ二乗適合度検定で、6 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。この検定の自由度 df はいくつですか？

k = 6

df =

3溶液

1.心理学研究法

答え: C · 帰無仮説が正しいとすると、これほど極端なデータが得られるのは約 3% である

これが答えになる理由

p 値は、帰無仮説が正しい場合に、観測された結果と同じかそれ以上に極端な結果が得られる確率です。仮説が正しい確率や効果の大きさを示すものではありません。

答え

C · 帰無仮説が正しいとすると、これほど極端なデータが得られるのは約 3% である

2.心理学研究法

答え: B · 範囲の制限（切断効果）

これが答えになる理由

標本がある変数の狭い範囲しか含まないと、その変数が関わる相関は小さくなります。バスケットボール選手は全員背が高いため、身長のばらつきが小さいのです。

答え

B · 範囲の制限（切断効果）

3.記述統計

答え: s = 12.51

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 288/7 = 41.14

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 13.86² + (−2.143)² + 10.86² + (−18.14)² + (−2.143)² + (−13.14)² + 10.86² = 938.9

標準偏差

s = √(938.9/6) = 12.51

答え

s = 12.51

4.記述統計

答え: P = 0.3085

標準化する

z = −0.5

標準正規分布表

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 0.3085

答え

P = 0.3085

5.確率

答え: N = 2002

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

組合せ

C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002

答え

N = 2002

6.確率

答え: P = 0.8857

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.9⁶ = 0.5314

P(X = 1) = 6·0.1·0.9⁵ = 0.3543

足し合わせる

P = 0.5314 + 0.3543 = 0.8857

答え

P = 0.8857

7.正規分布

答え: z = 0.33

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.2586)/2 = 0.6293

z 表を逆に読む

表の中で 0.6293 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.33

答え

z = 0.33

8.正規分布

答え: P = 0.7881

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

標準化する

z = (0 − 4)/5 = −0.8

確率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答え

P = 0.7881

9.信頼区間

答え: 上限 = 8.1 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 109 − 102.5 = 6.5

標準誤差

SE = √(5²/30 + 3²/80) = 0.9725

誤差の幅

E = 1.645·0.9725 = 1.6

区間

6.5 ± 1.6 → [4.9, 8.1]

答え

上限 = 8.1 h

区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。

10.信頼区間

答え: σ = 1.977 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 14·2.7² = 102.1

σ² の限界

102.1/26.119 = 3.908

102.1/5.629 = 18.13

σ の限界

σ = √3.908 = 1.977 µm

答え

σ = 1.977 µm

σ の 95% 区間：[1.977, 4.258] µm。

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5

検定統計量

t = (116.5 − 120)/2.5 = −1.4

答え

t = −1.4

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 42

n について解く

n = (2.576·5/2)² = 41.47

切り上げる

n = 42

答え

n = 42

13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9577

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 64/6 = 10.67

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 161.3

決定係数

r² = 104²/(70·161.3) = 0.9577

答え

r² = 0.9577

y の変動の約 95.77% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: e = 3.519

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 127/6 = 21.17

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29.5

回帰直線

b = −29.5/17.5 = −1.686

a = 21.17 − (−1.686)·3.5 = 27.07

ŷ = 27.07 − 1.686·x

予測値

ŷ = 27.07 + (−1.686)·4.5 = 19.48

残差

e = 23 − 19.48 = 3.519

答え

e = 3.519

点は直線より上にあります。

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 9.975

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

都市部: 60·70/140 = 30, 60·35/140 = 15, 60·35/140 = 15

農村部: 80·70/140 = 40, 80·35/140 = 20, 80·35/140 = 20

カイ二乗統計量

χ² = (35 − 30)²/30 + (18 − 15)²/15 + (7 − 15)²/15 + (35 − 40)²/40 + (17 − 20)²/20 + (28 − 20)²/20

χ² = 9.975

答え

χ² = 9.975

df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却される。

16.カイ二乗検定

答え: df = 5

自由度

df = 6 − 1 = 5

答え

df = 5

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