心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

同じ 25 人の参加者がカフェインの前と後に記憶テストを受けます。得点は間隔尺度でほぼ正規分布です。適切な検定はどれですか？

A対応のある t 検定
Bカイ二乗検定
C対応のない t 検定
Dマン・ホイットニーの U 検定

2.心理学研究法むずかしい

ある研究で、ストレスが病気に及ぼす効果は、強いソーシャルサポートを持つ人では弱いことがわかりました。ソーシャルサポートは何として働いていますか？

A媒介変数（メディエーター）
B従属変数
C交絡変数
D調整変数（モデレーター）

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：35, 36, 22, 17, 47, 50。

n = 6

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 100、標準偏差 8 の正規分布に従います。116 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 100σ = 8x = 116

P =

5.確率ふつう

公正なさいころを 4 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 4

P =

6.確率むずかしい

ゲームの参加費は €2 です。確率 0.2 で €10、確率 0.05 で €20 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €2€10: p = 0.2€20: p = 0.05

E(G) = €

7.正規分布ふつう

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。23 から 35.3 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 32σ = 6x₁ = 23x₂ = 35.3

P =

8.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 5% がそれより下にある値 x（第 5 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

9.信頼区間ふつう

11 個からなる標本の平均は 99.5、標準偏差は s = 12.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 11x̄ = 99.5s = 12.599%t(10) = 3.169

下限 =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 17 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 4 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 17E = 490%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 100 人の標本の平均点は 50.84、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 50.84s = 12n = 100

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 2 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 17 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.05検出力 = 80%δ = 2σ = 17z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6

r =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (3.5, 19) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(3.5, 19)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 1802 × 2

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

3 行 5 列（合計を除く）の分割表について、カイ二乗独立性検定を行います。表を使って、有意水準 α = 0.01 での臨界値 χ²_crit を求めなさい。

α = 0.01

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究法

答え: A · 対応のある t 検定

これが答えになる理由

対応のある t 検定は、各人の中での差を使って、2 つの条件での同じ参加者の平均を比べます。

答え

A · 対応のある t 検定

2.心理学研究法

答え: D · 調整変数（モデレーター）

これが答えになる理由

調整変数は 2 つの変数の関係の強さや方向を変えます。媒介変数は、ある変数が別の変数に影響する仕組みを説明します。

答え

D · 調整変数（モデレーター）

3.記述統計

答え: s = 13.13

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 207/6 = 34.5

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 0.5² + 1.5² + (−12.5)² + (−17.5)² + 12.5² + 15.5² = 861.5

標準偏差

s = √(861.5/5) = 13.13

答え

s = 13.13

4.記述統計

答え: P = 0.9772

標準化する

z = 2

標準正規分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

答え

P = 0.9772

5.確率

答え: P = 0.5177

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)⁴ = 0.4823

P = 1 − 0.4823 = 0.5177

答え

P = 0.5177

6.確率

答え: E(G) = 1 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 8 (p = 0.2), 18 (p = 0.05), −2 (p = 0.75)

期待値

E(G) = 8·0.2 + 18·0.05 − 2·0.75 = 1 €

答え

E(G) = 1 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

7.正規分布

答え: P = 0.642

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (23 − 32)/6 = −1.5

z₂ = (35.3 − 32)/6 = 0.55

間の面積

P = Φ(0.55) − Φ(−1.5) = 0.7088 − 0.06681 = 0.642

答え

P = 0.642

8.正規分布

答え: x = 166.5 cm

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

x に戻す

x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm

答え

x = 166.49 cm

9.信頼区間

答え: 下限 = 87.56

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 10, t = 3.169

誤差の幅

E = 3.169·12.5/√11 = 11.94

区間

99.5 ± 11.94 → [87.56, 111.4]

答え

下限 = 87.56

10.信頼区間

答え: n = 49

n について解く

n = (1.645·17/4)² = 48.88

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 49

答え

n = 49

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = 0.7

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2

検定統計量

t = (50.84 − 50)/1.2 = 0.7

答え

t = 0.7

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 447

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((1.645 + 0.842)·17/2)² = 446.9

切り上げる

n = 447

答え

n = 447

13.線形回帰と相関

答え: r = 0.9871

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 119/6 = 19.83

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 173

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 438.8

相関係数

r = 173/√(70·438.8) = 0.9871

答え

r = 0.9871

14.線形回帰と相関

答え: e = −2.15

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 114/5 = 22.8

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

回帰直線

b = −33/10 = −3.3

a = 22.8 − (−3.3)·3 = 32.7

ŷ = 32.7 − 3.3·x

予測値

ŷ = 32.7 + (−3.3)·3.5 = 21.15

残差

e = 19 − 21.15 = −2.15

答え

e = −2.15

点は直線より下にあります。

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 15.21

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

喫煙者: 80·90/180 = 40, 80·90/180 = 40

非喫煙者: 100·90/180 = 50, 100·90/180 = 50

カイ二乗統計量

χ² = (53 − 40)²/40 + (27 − 40)²/40 + (37 − 50)²/50 + (63 − 50)²/50

χ² = 15.21

答え

χ² = 15.21

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却される。

16.カイ二乗検定

答え: χ²_crit = 20.09

自由度

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

表

χ²_crit(df = 8, α = 0.01) = 20.090

答え

χ²_crit = 20.090

計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。

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