静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力部材: 2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力: 結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ: F = √(F_x² + F_y²)
てこ、ペンチ、ベルクランク: F_in·a = F_out·b
トグル: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう

一定の力 F = (10, −15, 0) N が、点 A(5, −1, 0) から点 B(−1, −1, 3) まで直線上を動く物体に作用している。座標の単位はメートルである。この力がする仕事 W を求めよ。

F = (10, −15, 0) NA(5, −1, 0) mB(−1, −1, 3) m

W = J

2.ベクトル：内積と外積むずかしい

頂点 A(−2, −3, −1)、B(1, −4, 4)、C(−2, 3, 4) をもつ三角形の面積 A を求めよ。座標の単位はメートルである。

A(−2, −3, −1)B(1, −4, 4)C(−2, 3, 4)

A = m²

3.はりの支点反力ふつう

はりは A でピン支点、A から 8 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 R_B を求めよ。

AB = 8 mAC = 10 mP₁ = 25 kN 位置 5 mP₂ = 75 kN 位置 10 m

R_B = kN

4.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 2.5 m の位置に水平と 40° をなす荷重 P が、A から 4.5 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。ピン A における全反力と水平とのなす角 α を求めよ。

L = 5 mP = 75 kN 位置 2.5 m, θ = 40°Q = 55 kN 位置 4.5 m

α = °

5.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 55 kN

F_AB = kN

6.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 40 kN水平荷重 = 25 kN ←

F_BC = kN

7.ラーメンと機械ふつう

図のフレームには A、B、C にピンがあり、A と C は 4 m 離れて地面に固定され、B は地面から 4 m の高さで A の 0.6 m 右にあります。部材 AB 上の A から（水平に）0.45 m の点 K に鉛直荷重 6 kN が作用します。部材 BC の力 F_BC を求めなさい。

P = 6 kNL = 4 mH = 4 mA から B までの水平距離 = 0.6 mA から K までの水平距離 = 0.45 m

F_BC = kN

8.ラーメンと機械むずかしい

図の壁付きブラケットの梁 AB は A でピン接合され、支柱 CD で支えられています（C は A の 0.75 m 下）。梁は全長にわたる 3 kN/m の等分布荷重と、自由端 B の 12 kN の集中荷重を受けます。支柱の力 F_CD を求めなさい。

w = 3 kN/mP = 12 kNAD = 1.5 mAB = 4 mAC = 0.75 m

F_CD = kN

9.せん断力と曲げモーメントふつう

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 6 mP₁ = 65 kN 位置 1 mP₂ = 25 kN 位置 1.5 m

M_max = kN·m

10.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 55 kN 位置 1 mw = 8 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2.5 m

M_x = kN·m

11.図心と断面二次モーメントふつう

溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 160 mm の底板と、全高 130 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 8 mm である。下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。

b = 160 mmh = 130 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

100 mm × 200 mm の板に、幅 60 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 130 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 100 mmh = 200 mm切り欠き: 60 × 40 mm穴の中心: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: W = −60 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

変位

d = B − A = (−1, −1, 3) − (5, −1, 0) = (−6, 0, 3) m

仕事

W = F·d = 10·(−6) + (−15)·0 + 0·3 = −60 J

答え

W = −60 J

負の仕事：力はおもに運動に逆らって作用しています。

2.ベクトル：内積と外積

答え: A = 21.06 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

辺ベクトル

AB = B − A = (3, −1, 5)

AC = C − A = (0, 6, 5)

外積

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−1)·5 − 5·6 = −35

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 5·0 − 3·5 = −15

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 3·6 − (−1)·0 = 18

|AB × AC| = √((−35)² + (−15)² + 18²) = 42.12

三角形の面積

A = ½·42.12 = 21.06 m²

答え

A = 21.06 m²

3.はりの支点反力

答え: R_B = 109.4 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·5 + 75·10

R_B = 875/8 = 109.4 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 25 + 75 − 109.4 = −9.375 kN

答え

R_B = 109.4 kN

R_A は負です：A のピンははりを下に押さえつけなければなりません。

4.はりの支点反力

答え: α = 27.26 °

P の成分

P_v = 75·sin 40° = 48.21 kN

P_h = 75·cos 40° = 57.45 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·5 = 48.21·2.5 + 55·4.5 → R_B = 73.6 kN

A_y = 48.21 + 55 − 73.6 = 29.6 kN

A_x = P_h = 57.45 kN

A での向き

α = atan(A_y/A_x) = atan(29.6/57.45) = 27.26°

答え

α = 27.26°

5.トラス：節点法

答え: F_AB = −49.19 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·1 → C_y = 11 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 11 = 44 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −44/0.8944 = −49.19 kN

答え

F_AB = −49.19 kN (圧縮)

6.トラス：節点法

答え: F_BC = −19.8 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·3 − 25·2 → C_y = 14 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 14 = 26 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −14/0.7071 = −19.8 kN

答え

F_BC = −19.8 kN (圧縮)

7.ラーメンと機械

答え: F_BC = 0.8859 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

二力部材 BC

BC = √(3.4² + 4²) = 5.25 m

フレーム全体：A まわりのモーメント

地面は C で CB に沿って BC を押します：その水平成分は A を通り、モーメントをもつのは鉛直成分だけです。

F_BC·(4/5.25)·4 = 6·0.45

F_BC = 0.8859 kN （圧縮）

答え

F_BC = 0.8859 kN

8.ラーメンと機械

答え: F_CD = 107.3 kN

等分布荷重の合力

w·L = 3·4 = 12 kN 位置 2 m

梁の A まわりのモーメント

F_CD·0.4472·1.5 = 12·2 + 12·4 = 72 kN·m

F_CD = 107.3 kN

答え

F_CD = 107.3 kN

9.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 76.88 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·1 + 25·1.5

R_B = 102.5/6 = 17.08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 17.08 = 72.92 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P₁: M = R_A·1 = 72.92·1 = 72.92 kN·m

荷重点 P₂: M = R_B·4.5 = 17.08·4.5 = 76.88 kN·m

最大値

M_max = 76.88 kN·m (荷重点 P₂)

答え

M_max = 76.88 kN·m

10.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 35.63 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN、作用点 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 8·4·2

R_B = 119/4 = 29.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 87 − 29.75 = 57.25 kN

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 57.25·2.5 − 55·(2.5 − 1) − 8·2.5·1.25 = 35.63 kN·m

答え

M_x = 35.63 kN·m

11.図心と断面二次モーメント

答え: ȳ = 43.26 mm

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

長方形に分割

底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。

基剤: A₁ = 160·8 = 1280 mm², y₁ = 4 mm

2 本の脚: A₂ = 2·8·122 = 1952 mm², y₂ = 8 + 122/2 = 69 mm

図心

ȳ = (1280·4 + 1952·69)/3232 = 43.26 mm

答え

ȳ = 43.26 mm

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 63.89 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (20000·100 − 2400·130)/(20000 − 2400) = 95.91 mm

ȳ まわりの全体の板

100·200³/12 + 20000·4.091² = 67 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

60·40³/12 + 2400·34.09² = 3.109 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 63.89 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 63.89 × 10⁶ mm⁴

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