静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力部材: 2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力: 結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ: F = √(F_x² + F_y²)
てこ、ペンチ、ベルクランク: F_in·a = F_out·b
トグル: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう

ベクトル a = (0, 5, −2) と b = (−5, 1, k) が垂直になるような k の値を求めよ。

a = (0, 5, −2)b = (−5, 1, k)

k =

2.ベクトル：内積と外積むずかしい

頂点 A(−1, −1, −3)、B(4, −2, −2)、C(3, −4, 4) をもつ三角形の面積 A を求めよ。座標の単位はメートルである。

A(−1, −1, −3)B(4, −2, −2)C(3, −4, 4)

A = m²

3.はりの支点反力ふつう

はりは A でピン支点、A から 3 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 R_A を求めよ。

AB = 3 mAC = 4 mP₁ = 70 kN 位置 1 mP₂ = 30 kN 位置 4 m

R_A = kN

4.はりの支点反力むずかしい

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 4 kN/m で自由端 B で 0 まで直線的に減少する分布荷重と、壁から 8 m の位置の集中荷重 P が作用する。壁における反力モーメント M_A の大きさを求めよ。

L = 10 mw₀ = 4 kN/mP = 25 kN 位置 8 m

M_A = kN·m

5.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AC の軸力 F_AC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 10 kN

F_AC = kN

6.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 55 kN水平荷重 = 10 kN →

F_BC = kN

7.ラーメンと機械ふつう

図のフレームには A、B、C にピンがあり、A と C は 6 m 離れて地面に固定され、B は地面から 4 m の高さで A の 1.8 m 右にあります。部材 AB 上の A から（水平に）0.72 m の点 K に鉛直荷重 10 kN が作用します。部材 BC の力 F_BC を求めなさい。

P = 10 kNL = 6 mH = 4 mA から B までの水平距離 = 1.8 mA から K までの水平距離 = 0.72 m

F_BC = kN

8.ラーメンと機械むずかしい

図の A 形フレームは、4 m 離れた A のピンと B のローラーで立っています。脚は高さ 3.6 m のピン C で出会い、水平なつなぎ材 DE で 1.5 m の位置で結ばれています。C に右向きの水平力 10 kN が作用します。つなぎ材の張力 T を求めなさい。

P = 10 kNAB = 4 mC の高さ = 3.6 mDE の高さ = 1.5 m

T = kN

9.せん断力と曲げモーメントふつう

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 5 mP₁ = 35 kN 位置 3 mP₂ = 35 kN 位置 3.5 m

M_max = kN·m

10.せん断力と曲げモーメントむずかしい

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 5 mP = 40 kN 位置 3 mw = 8 kN/m（0 から 5 m まで）

M_max = kN·m

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 5 kN·m を受ける。上端の曲げ応力 σ_上端の大きさを求めよ。

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mmM = 5 kN·m

σ_上端 = MPa

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: k = 2.5

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

内積 = 0

a·b = 0·(−5) + 5·1 + (−2)·k = 0

5 + (−2)·k = 0

k について解く

k = −5/(−2) = 2.5

答え

k = 2.5

2.ベクトル：内積と外積

答え: A = 16.57 m²

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

辺ベクトル

AB = B − A = (5, −1, 1)

AC = C − A = (4, −3, 7)

外積

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−1)·7 − 1·(−3) = −4

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 1·4 − 5·7 = −31

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 5·(−3) − (−1)·4 = −11

|AB × AC| = √((−4)² + (−31)² + (−11)²) = 33.14

三角形の面積

A = ½·33.14 = 16.57 m²

答え

A = 16.57 m²

3.はりの支点反力

答え: R_A = 36.67 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 70·1 + 30·4

R_B = 190/3 = 63.33 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 70 + 30 − 63.33 = 36.67 kN

答え

R_A = 36.67 kN

4.はりの支点反力

答え: M_A = 266.7 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 R_A と反力モーメント M_A を与えます。ΣF_y = 0 から R_A が、壁まわりのモーメントから M_A = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

三角形分布荷重の合力

W = ½·4·10 = 20 kN

x̄ = L/3 = 3.333 m

壁まわりのモーメント

M_A = W·x̄ + P·a = 20·3.333 + 25·8 = 266.7 kN·m

答え

M_A = 266.7 kN·m

5.トラス：節点法

答え: F_AC = 2.5 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·3 → C_y = 7.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 7.5 = 2.5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7.5/0.9487 = −7.906 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−7.906)·0.3162 = 2.5 kN

答え

F_AC = 2.5 kN (引張)

6.トラス：節点法

答え: F_BC = −34.13 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·1 + 10·2 → C_y = 9.375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 9.375 = 45.63 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/7.28 = 0.2747, cos γ = 7/7.28 = 0.9615

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9.375/0.2747 = −34.13 kN

答え

F_BC = −34.13 kN (圧縮)

7.ラーメンと機械

答え: F_BC = 1.74 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

二力部材 BC

BC = √(4.2² + 4²) = 5.8 m

フレーム全体：A まわりのモーメント

地面は C で CB に沿って BC を押します：その水平成分は A を通り、モーメントをもつのは鉛直成分だけです。

F_BC·(4/5.8)·6 = 10·0.72

F_BC = 1.74 kN （圧縮）

答え

F_BC = 1.74 kN

8.ラーメンと機械

答え: T = 8.571 kN

フレーム全体：A まわりのモーメント

B_y·4 = 10·3.6

B_y = 9 kN

脚 BC：C まわりのモーメント

9·2 = T·2.1

T = 8.571 kN

答え

T = 8.571 kN

T が正なら、仮定したとおり、つなぎ材は引張を受けています。

9.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 73.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3 + 35·3.5

R_B = 227.5/5 = 45.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 45.5 = 24.5 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P₁: M = R_A·3 = 24.5·3 = 73.5 kN·m

荷重点 P₂: M = R_B·1.5 = 45.5·1.5 = 68.25 kN·m

最大値

M_max = 73.5 kN·m (荷重点 P₁)

答え

M_max = 73.5 kN·m

10.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 72 kN·m

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3 + 8·5·2.5

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 44 = 36 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(3⁻) = R_A − w·3 = 12 kN

V(3⁺) = 12 − 40 = −28 kN

荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 36·3 − 8·3²/2 = 72 kN·m

答え

M_max = 72 kN·m

それは A から x = 3 m の位置に生じます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 16.92 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187.5 mm

ウェブ: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·187.5 + 1800·90)/6000 = 158.3 mm

平行軸の定理

フランジ: 280·15³/12 + 4200·(187.5 − 158.3)² = 3.672 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 10·180³/12 + 1800·(90 − 158.3)² = 1.324 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.672 × 10⁶ + 1.324 × 10⁷ = 1.692 × 10⁷ mm⁴ = 16.92 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 16.92 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_上端 = 5.571 MPa

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

ウェブ: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·290 + 3920·140)/8320 = 219.3 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·20³/12 + 4400·(290 − 219.3)² = 2.212 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 14·280³/12 + 3920·(140 − 219.3)² = 5.028 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.212 × 10⁷ + 5.028 × 10⁷ = 7.24 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 300 − 219.3 = 80.67 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·80.67/7.24 × 10⁷ = 5.571 MPa

答え

σ_上端 = 5.571 MPa

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