図のベルクランクはピン O のまわりに回ります。A（O から 240 mm）での鉛直の力 200 N が、B（O の 120 mm 上）での水平な力とつり合っています。ピン反力の大きさ FO を求めなさい。
F = 200 NOA = 240 mmOB = 120 mm
FO = N
8.ラーメンと機械むずかしい
図のフレームには A、B、C にピンがあり、A と C は 8 m 離れて地面に固定され、B は高さ 2 m で A の 4.8 m 右にあります。部材 AB は A から（水平に）1.92 m の点 K で鉛直荷重 15 kN を受け、さらに B で右向きの水平荷重 4 kN が部材 AB に作用します。A の水平反力の大きさ Ax を求めなさい。
P = 15 kNQ = 4 kNL = 8 mH = 2 mA から B までの水平距離 = 4.8 mA から K までの水平距離 = 1.92 m
Ax = kN
9.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 3.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 5 kN/m（0 から 8 m まで）x = 3.5 m
Vx = kN
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 7 mw = 12 kN/m（0 から 7 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m
Mmax = kN·m
11.図心と断面二次モーメントふつう
対称な I 形断面のフランジは幅 220 mm、厚さ 20 mm、全高は 300 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。 水平な図心軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
B = 220 mmH = 300 mmtf = 20 mmtw = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 150 mm の板に、幅 30 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 90 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 150 mm切り欠き: 30 × 30 mm穴の中心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3溶液
1.ベクトル：内積と外積
答え: a·b = 4
内積（ドット積）：a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。
対応する成分を掛けて足す
a·b = (−4)·2 + 0·(−3) + 6·2 = (−8) + 0 + 12 = 4
答え
a·b = 4
正：2 つのベクトルのなす角は 90° より小さい。
2.ベクトル：内積と外積
答え: (a × b)x = −2
外積（クロス積）：a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは MO = r × F（r = A − O）です。
外積を成分ごとに計算する
(a × b)x = aybz − azby = 3·0 − 1·2 = −2
(a × b)y = azbx − axbz = 1·6 − 1·0 = 6
(a × b)z = axby − aybx = 1·2 − 3·6 = −16
求める成分
(a × b)x = −2
答え
(a × b)x = −2
検算：a × b は両方のベクトルに垂直なので、a および b との内積は 0 です。
3.はりの支点反力
答え: MA = 264 kN·m
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·8·4
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
x = 3.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 20 − 5·3.5 = 2.5 kN
答え
Vx = 2.5 kN
10.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 26.46 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。