静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ
|a| = √(ax² + ay² + az²)
単位ベクトル
û = a/|a|
角度から成分を求める
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
内積
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影
a·b/|b|
仕事
W = F·d
外積
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面積
平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント
MO = r × F, r = A − O
平行六面体の体積
V = |a·(b × c)|

解き方

  1. すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
  2. 長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
  3. 角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力部材
2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力
結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ
F = √(Fx² + Fy²)
てこ、ペンチ、ベルクランク
Fin·a = Fout·b
トグル
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

  1. 構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
  2. 二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
  3. ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
  4. 各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう
xyzab

a = (−6, 3, 0) の b = (−3, −1, −1) 上へのスカラー射影 compb a、つまり a の b 方向の成分を求めよ。

a = (−6, 3, 0)b = (−3, −1, −1)
compb a =
2.ベクトル：内積と外積むずかしい
xyzabc

1 つの頂点から出る辺が a = (2, 0, −3)、b = (0, 2, 1)、c = (1, −1, −5) である平行六面体の体積 V を求めよ。

a = (2, 0, −3)b = (0, 2, 1)c = (1, −1, −5)
V =
3.はりの支点反力ふつう
P1​ = 55 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​ = ?1.5 m1.5 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 5 mP1 = 55 kN 位置 1.5 mP2 = 10 kN 位置 3 m
RB = kN
4.はりの支点反力むずかしい
w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​RB​ = ?3 m1 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 6 mP = 20 kN 位置 4 mw = 10 kN/m（3 から 4 m まで）
RB = kN
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB20 kN8 m5 m4 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 20 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB30 kN5 kN6 m2 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 5 kN ←
FAB = kN
7.ラーメンと機械ふつう
15 kN0.8 m1.2 m1.5 mABCD

水平な梁 AB が A で壁にピン接合され、A の 1.5 m 下で壁にピン接合された支柱 CD で支えられています。B に 15 kN の荷重がつり下がっています。重さは無視します。A で梁に作用するピン力の大きさ A を求めなさい。

P = 15 kNAD = 0.8 mAB = 2 mAC = 1.5 m
A = kN
8.ラーメンと機械むずかしい
8 kN4.8 m1 m1.5 m1.8 mABCDEK

図の A 形フレームは、4.8 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 2.5 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）1.8 m の点 K に、鉛直荷重 8 kN が作用します。ピン C が脚 BC に及ぼす力の大きさ C を求めなさい。

P = 8 kNAB = 4.8 mC の高さ = 2.5 mDE の高さ = 1 mA から K までの水平距離 = 1.8 m
C = kN
9.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 55 kN·mAB2.5 m2.5 m

単純ばりに、A から x = 2.5 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 55 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ左側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mM0 = 55 kN·m 時計回り、位置 2.5 m
Mx = kN·m
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
15 kN/m30 kN45 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

30 kN @ 0 m45 kN @ 6 m50 kN @ 3 m15 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
11.図心と断面二次モーメントふつう
xD = 60d = 44寸法の単位：mm

円管の外径は D = 60 mm、内径は d = 44 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

D = 60 mmd = 44 mm
r = mm
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
140203008x正の M寸法の単位：mm

鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 50 MPa、圧縮で 150 MPa である。 はりが負担できる最大の正の曲げモーメント Mallow を求めよ。

bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 300 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: compb a = 4.523

内積（ドット積）：a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

内積

a·b = (−6)·(−3) + 3·(−1) + 0·(−1) = 15

b の長さ

|b| = √((−3)² + (−1)² + (−1)²) = 3.317

スカラー射影

compb a = a·b/|b| = 15/3.317 = 4.523

答え

compb a = 4.523
2.ベクトル：内積と外積

答え: V = 12

外積（クロス積）：a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは MO = r × F（r = A − O）です。

外積 b × c

(b × c)x = bycz − bzcy = 2·(−5) − 1·(−1) = −9
(b × c)y = bzcx − bxcz = 1·1 − 0·(−5) = 1
(b × c)z = bxcy − bycx = 0·(−1) − 2·1 = −2

a との内積

a·(b × c) = 2·(−9) + 0·1 + (−3)·(−2) = −12
V = |−12| = 12

答え

V = 12
3.はりの支点反力

答え: RB = 22.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 55 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​1.5 m1.5 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·5 = 55·1.5 + 10·3
RB = 112.5/5 = 22.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 22.5 = 42.5 kN

答え

RB = 22.5 kN
4.はりの支点反力

答え: RB = 19.17 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​RB​3 m1 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN、作用点 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·4 + 10·1·3.5
RB = 115/6 = 19.17 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 19.17 = 10.83 kN

答え

RB = 19.17 kN
5.トラス：節点法

答え: FAC = 9.375 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·5 → Cy = 12.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 12.5 = 7.5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12.5/0.8 = −15.63 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−15.63)·0.6 = 9.375 kN

答え

FAC = 9.375 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −27.04 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 30·2 − 5·3 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 7.5 = 22.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22.5/0.8321 = −27.04 kN

答え

FAB = −27.04 kN (圧縮)
7.ラーメンと機械

答え: A = 30.1 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

支柱の力

FCD = 15·2/(0.8824·0.8) = 42.5 kN

A での成分

Ax = FCD·cos α = 20 kN （壁の方向）
Ay = 15 − FCD·sin α = −22.5 kN

大きさ

A = √(20² + −22.5²) = 30.1 kN

答え

A = 30.1 kN

Ay が負なら、壁が A で梁を下に引いています。

8.ラーメンと機械

答え: C = 5.66 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

B の支点反力

By = 8·1.8/4.8 = 3 kN

つなぎ材の力

T = 3·2.4/1.5 = 4.8 kN

BC に作用するピン力

Cx = 4.8 kN, Cy = −3 kN
C = √(4.8² + 3²) = 5.66 kN

答え

C = 5.66 kN
9.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −27.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 55/5 = 11 kN (上向き)
RA = −RB = −11 kN (下向き)

偶力のすぐ左で切断

左側部分には RA だけが含まれます。

Mx = RA·a = −11·2.5 = −27.5 kN·m

答え

Mx = −27.5 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 49.17 kN, R2 = 120.8 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −30, MC = −18.33, MD = −21.67, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0

答え

点 E: ME = −90 kN·m
11.図心と断面二次モーメント

答え: r = 18.6 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

A = π(D² − d²)/4 = 1307 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 452188 mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(452188/1307) = 18.6 mm

答え

r = 18.6 mm
12.図心と断面二次モーメント

答え: Mallow = 10.84 kN·m

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

図心

ȳ = (2800·310 + 2400·150)/5200 = 236.2 mm
上縁: c = 320 − 236.2 = 83.85 mm

断面二次モーメント

I = 140·20³/12 + 2800·73.85² + 8·300³/12 + 2400·86.15² = 5.118 × 10⁷ mm⁴

各縁で許容されるモーメント

正の曲げ：上側は圧縮、下側は引張です。

上縁: M = 150·5.118 × 10⁷/83.85 = 91.55 kN·m
下縁: M = 50·5.118 × 10⁷/236.2 = 10.84 kN·m

決定値

Mallow = min = 10.84 kN·m (下縁)

答え

Mallow = 10.84 kN·m

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