静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ
|a| = √(ax² + ay² + az²)
単位ベクトル
û = a/|a|
角度から成分を求める
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
内積
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影
a·b/|b|
仕事
W = F·d
外積
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面積
平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント
MO = r × F, r = A − O
平行六面体の体積
V = |a·(b × c)|

解き方

  1. すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
  2. 長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
  3. 角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力部材
2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力
結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ
F = √(Fx² + Fy²)
てこ、ペンチ、ベルクランク
Fin·a = Fout·b
トグル
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

  1. 構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
  2. 二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
  3. ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
  4. 各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう
xyzdFAB

一定の力 F = (15, 25, 20) N が、点 A(−3, −2, 3) から点 B(5, −5, −5) まで直線上を動く物体に作用している。座標の単位はメートルである。この力がする仕事 W を求めよ。

F = (15, 25, 20) NA(−3, −2, 3) mB(5, −5, −5) m
W = J
2.ベクトル：内積と外積むずかしい
xyzab

単位ベクトル n̂ は、a = (−1, 5, 1) と b = (3, −5, 1) の両方に垂直で、z 成分が正である。その y 成分 n̂y を求めよ。

a = (−1, 5, 1)b = (3, −5, 1)n̂z > 0
n̂y =
3.はりの支点反力ふつう
P1​ = 50 kNP2​ = 45 kNABRA​ = ?RB​3 m0.5 m2.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 6 mP1 = 50 kN 位置 3 mP2 = 45 kN 位置 3.5 m
RA = kN
4.はりの支点反力むずかしい
w = 8 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 4 mP = 50 kN 位置 2 mw = 8 kN/m（0 から 1 m まで）
RA = kN
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB45 kN5 m2 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 45 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB55 kN5 kN5 m3 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 55 kN水平荷重 = 5 kN →
FBC = kN
7.ラーメンと機械ふつう
5 kN6 m1 m3.5 mABCDE

図の A 形フレームは、6 m 離れた A のピンと B のローラーで立っています。脚は高さ 4.5 m のピン C で出会い、水平なつなぎ材 DE は地面から 1 m の高さにあります。C に 5 kN の荷重が作用します。ピン C が脚 BC に及ぼす力の大きさ C を求めなさい。

P = 5 kNAB = 6 mC の高さ = 4.5 mDE の高さ = 1 m
C = kN
8.ラーメンと機械むずかしい
15 kN2.4 m1.5 m2.5 m0.72 mABCDEK

図の A 形フレームは、2.4 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 4 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1.5 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）0.72 m の点 K に、鉛直荷重 15 kN が作用します。ピン C が脚 BC に及ぼす力の大きさ C を求めなさい。

P = 15 kNAB = 2.4 mC の高さ = 4 mDE の高さ = 1.5 mA から K までの水平距離 = 0.72 m
C = kN
9.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 75 kNP2​ = 35 kNAB1 m6 m3 m

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 10 mP1 = 75 kN 位置 1 mP2 = 35 kN 位置 7 m
Mmax = kN·m
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mABC5 m1 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 A から支点間の反曲点（曲げモーメントの符号が変わる点）までの距離 xc を求めよ。

L = 6 mw = 10 kN/m（0 から 6 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m
xc = m
11.図心と断面二次モーメントふつう
xD = 180d = 160寸法の単位：mm

円管の外径は D = 180 mm、内径は d = 160 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

D = 180 mmd = 160 mm
r = mm
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm300 mm120 mm60 × 30xIx​ = ?

150 mm × 300 mm の板に、幅 60 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 120 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 300 mm切り欠き: 60 × 30 mm穴の中心: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: W = −115 J

内積（ドット積）：a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

変位

d = B − A = (5, −5, −5) − (−3, −2, 3) = (8, −3, −8) m

仕事

W = F·d = 15·8 + 25·(−3) + 20·(−8) = −115 J

答え

W = −115 J

負の仕事：力はおもに運動に逆らって作用しています。

2.ベクトル：内積と外積

答え: n̂y = −0.2722

外積（クロス積）：a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは MO = r × F（r = A − O）です。

外積

(a × b)x = aybz − azby = 5·1 − 1·(−5) = 10
(a × b)y = azbx − axbz = 1·3 − (−1)·1 = 4
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·(−5) − 5·3 = −10

正規化する

a × b の z 成分は負なので、−(a × b) を使います。

|a × b| = √(10² + 4² + (−10)²) = 14.7
n̂ = −(10, 4, −10)/14.7 = (−0.6804, −0.2722, 0.6804)
n̂y = −0.2722

答え

n̂y = −0.2722
3.はりの支点反力

答え: RA = 43.75 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 50 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​3 m0.5 m2.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 50·3 + 45·3.5
RB = 307.5/6 = 51.25 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 51.25 = 43.75 kN

答え

RA = 43.75 kN
4.はりの支点反力

答え: RA = 32 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 8 kN/mP = 50 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN、作用点 x̄ = 0.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2 + 8·1·0.5
RB = 104/4 = 26 kN
ΣFy = 0: RA = 58 − 26 = 32 kN

答え

RA = 32 kN
5.トラス：節点法

答え: FBC = −22.5 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·2 → Cy = 18 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 18 = 27 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18/0.8 = −22.5 kN

答え

FBC = −22.5 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FBC = −43.27 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB55 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·3 + 5·3 → Cy = 36 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 36 = 19 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −36/0.8321 = −43.27 kN

答え

FBC = −43.27 kN (圧縮)
7.ラーメンと機械

答え: C = 3.293 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

脚 BC から求めるつなぎ材の力

By = 2.5 kN
T = 2.5·3/3.5 = 2.143 kN

BC に作用するピン力の成分

Cx = T = 2.143 kN, Cy = −By = −2.5 kN

大きさ

C = √(2.143² + 2.5²) = 3.293 kN

答え

C = 3.293 kN
8.ラーメンと機械

答え: C = 4.992 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

B の支点反力

By = 15·0.72/2.4 = 4.5 kN

つなぎ材の力

T = 4.5·1.2/2.5 = 2.16 kN

BC に作用するピン力

Cx = 2.16 kN, Cy = −4.5 kN
C = √(2.16² + 4.5²) = 4.992 kN

答え

C = 4.992 kN
9.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 96 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣMA = 0: RB·10 = 75·1 + 35·7
RB = 320/10 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 32 = 78 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P1: M = RA·1 = 78·1 = 78 kN·m
荷重点 P2: M = RB·3 = 32·3 = 96 kN·m

最大値

Mmax = 96 kN·m (荷重点 P2)

答え

Mmax = 96 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント

答え: xc = 4.8 m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·6·3
RB = 180/5 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 36 = 24 kN

モーメント 0 の位置

支点間では M(x) = RA·x − w·x²/2。x = 0 を除くと、x = 2RA/w で 0 になります。

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·24/10 = 4.8 m

答え

xc = 4.8 m
11.図心と断面二次モーメント

答え: r = 60.21 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

A = π(D² − d²)/4 = 5341 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.936 × 10⁷ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(1.936 × 10⁷/5341) = 60.21 mm

答え

r = 60.21 mm
12.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 335.7 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (45000·150 − 1800·120)/(45000 − 1800) = 151.3 mm

ȳ まわりの全体の板

150·300³/12 + 45000·−1.25² = 337.6 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

60·30³/12 + 1800·−31.25² = 1.893 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 335.7 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 335.7 × 10⁶ mm⁴

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