静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ
|a| = √(ax² + ay² + az²)
単位ベクトル
û = a/|a|
角度から成分を求める
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
内積
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影
a·b/|b|
仕事
W = F·d
外積
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面積
平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント
MO = r × F, r = A − O
平行六面体の体積
V = |a·(b × c)|

解き方

  1. すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
  2. 長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
  3. 角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力部材
2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力
結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ
F = √(Fx² + Fy²)
てこ、ペンチ、ベルクランク
Fin·a = Fout·b
トグル
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

  1. 構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
  2. 二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
  3. ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
  4. 各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう
xyzdFAB

一定の力 F = (15, −15, −5) N が、点 A(2, −3, −4) から点 B(−2, −2, 0) まで直線上を動く物体に作用している。座標の単位はメートルである。この力がする仕事 W を求めよ。

F = (15, −15, −5) NA(2, −3, −4) mB(−2, −2, 0) m
W = J
2.ベクトル：内積と外積むずかしい
xyzab

a = (2, 3, −2)、b = (5, 1, 1) のとき、外積 a × b の z 成分 (a × b)z を求めよ。

a = (2, 3, −2)b = (5, 1, 1)
(a × b)z =
3.はりの支点反力ふつう
w = 3 kN/mP = 35 kNABMA​ = ?4 m1 m3 m

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁から 4 m まで等分布荷重 w が作用し、壁から 5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

L = 8 mP = 35 kN 位置 5 mw = 3 kN/m（0 から 4 m まで）
MA = kN·m
4.はりの支点反力むずかしい
w = 10 kN/mP = 40 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 4 mP = 40 kN 位置 2 mw = 10 kN/m（1 から 4 m まで）
RB = kN
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB15 kN6 m4 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 15 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB60 kN5 kN8 m3 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 60 kN水平荷重 = 5 kN ←
FAC = kN
7.ラーメンと機械ふつう
OAB300 NQ120 mm150 mmFO​ = ?

図のベルクランクはピン O のまわりに回ります。A（O から 120 mm）での鉛直の力 300 N が、B（O の 150 mm 上）での水平な力とつり合っています。ピン反力の大きさ FO を求めなさい。

F = 300 NOA = 120 mmOB = 150 mm
FO = N
8.ラーメンと機械むずかしい
15 kN4 m1.5 m1 m0.5 mABCDEK

図の A 形フレームは、4 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 2.5 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1.5 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）0.5 m の点 K に、鉛直荷重 15 kN が作用します。ピン C が脚 BC に及ぼす力の大きさ C を求めなさい。

P = 15 kNAB = 4 mC の高さ = 2.5 mDE の高さ = 1.5 mA から K までの水平距離 = 0.5 m
C = kN
9.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 15 kNP2​ = 45 kNABC1 m7 m2 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 荷重 P1 の位置における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mP1 = 15 kN 位置 1 mP2 = 45 kN 位置 10 m支点の位置 x = 0 と x = 8 m
Mx = kN·m
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 12 kN/mAB2 m5 m3 m

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 10 mw = 12 kN/m（2 から 7 m まで）
Mmax = kN·m
11.図心と断面二次モーメントふつう
250440186x寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 250 mm、厚さ 18 mm、全高は 440 mm、ウェブの厚さは 6 mm である。 水平な図心軸 x まわりの曲げに対する弾性断面係数 Sx を求めよ。

B = 250 mmH = 440 mmtf = 18 mmtw = 6 mm
Sx = × 10³ mm³
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
180302808xM = 40 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 40 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。

bf = 180 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 280 mmM = 40 kN·m
σ上端 = MPa

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: W = −95 J

内積（ドット積）：a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

変位

d = B − A = (−2, −2, 0) − (2, −3, −4) = (−4, 1, 4) m

仕事

W = F·d = 15·(−4) + (−15)·1 + (−5)·4 = −95 J

答え

W = −95 J

負の仕事：力はおもに運動に逆らって作用しています。

2.ベクトル：内積と外積

答え: (a × b)z = −13

外積（クロス積）：a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは MO = r × F（r = A − O）です。

外積を成分ごとに計算する

(a × b)x = aybz − azby = 3·1 − (−2)·1 = 5
(a × b)y = azbx − axbz = (−2)·5 − 2·1 = −12
(a × b)z = axby − aybx = 2·1 − 3·5 = −13

求める成分

(a × b)z = −13

答え

(a × b)z = −13

検算：a × b は両方のベクトルに垂直なので、a および b との内積は 0 です。

3.はりの支点反力

答え: MA = 199 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

分布荷重の合力

W = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m

壁まわりのモーメント

MA = P·a + W·x̄ = 35·5 + 12·2 = 199 kN·m

答え

MA = 199 kN·m
4.はりの支点反力

答え: RB = 38.75 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 10 kN/mP = 40 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2 + 10·3·2.5
RB = 155/4 = 38.75 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 38.75 = 31.25 kN

答え

RB = 38.75 kN
5.トラス：節点法

答え: FBC = −14.14 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·4 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 10 = 5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0.7071 = −14.14 kN

答え

FBC = −14.14 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 34.38 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB60 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 60·3 − 5·3 → Cy = 20.63 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 20.63 = 39.38 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20.63/0.5145 = −40.09 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−40.09)·0.8575 = 34.38 kN

答え

FAC = 34.38 kN (引張)
7.ラーメンと機械

答え: FO = 384.2 N

機械：ペンチ、てこ、リンク機構、クランプは、入力の力をより大きな、または向きの異なる出力の力に変えます。1 つの部品を自由物体として描き、その支点まわりのモーメントをとります：ピン力は消え、Fin·a = Fout·b から機械的利益 a/b が得られます。ピン力は、同じ部品の ΣF = 0 から求まります。トグルでは、2 本のリンクが浅い角度 θ で出会います。各リンクは二力部材なので、接合部の小さな力 F が、大きなリンク力 F/(2 sin θ) と締め付け力 F/(2 tan θ) を生みます。

B の力

Q = 300·120/150 = 240 N

ピン反力

Ox = 240 N, Oy = 300 N
FO = √(240² + 300²) = 384.2 N

答え

FO = 384.2 N
8.ラーメンと機械

答え: C = 4.193 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

B の支点反力

By = 15·0.5/4 = 1.875 kN

つなぎ材の力

T = 1.875·2/1 = 3.75 kN

BC に作用するピン力

Cx = 3.75 kN, Cy = −1.875 kN
C = √(3.75² + 1.875²) = 4.193 kN

答え

C = 4.193 kN
9.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 1.875 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。

ΣMA = 0: RB·8 = 15·1 + 45·10
RB = 465/8 = 58.13 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 58.13 = 1.875 kN

P1 の位置で切断し、左側を残す

Mx = RA·1 = 1.875·1 = 1.875 kN·m

答え

Mx = 1.875 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 111.4 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN、作用点 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·5·4.5
RB = 270/10 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 27 = 33 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 33/12 = 4.75 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 33·4.75 − 12·2.75²/2 = 111.4 kN·m

答え

Mmax = 111.4 kN·m
11.図心と断面二次モーメント

答え: Sx = 1972 × 10³ mm³

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 440 − 2·18 = 404 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (250·440³ − 244·404³)/12
Ix = 4.339 × 10⁸ mm⁴

断面係数

c = H/2 = 220 mm
Sx = I/c = 4.339 × 10⁸/220
Sx = 1.972 × 10⁶ mm³ = 1972 × 10³ mm³

答え

Sx = 1972 × 10³ mm³
12.図心と断面二次モーメント

答え: σ上端 = 45.55 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
ウェブ: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5400·295 + 2240·140)/7640 = 249.6 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·30³/12 + 5400·(295 − 249.6)² = 1.156 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 8·280³/12 + 2240·(140 − 249.6)² = 4.152 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.156 × 10⁷ + 4.152 × 10⁷ = 5.308 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 310 − 249.6 = 60.45 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·60.45/5.308 × 10⁷ = 45.55 MPa

答え

σ上端 = 45.55 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics