静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ
|a| = √(ax² + ay² + az²)
単位ベクトル
û = a/|a|
角度から成分を求める
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
内積
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影
a·b/|b|
仕事
W = F·d
外積
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面積
平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント
MO = r × F, r = A − O
平行六面体の体積
V = |a·(b × c)|

解き方

  1. すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
  2. 長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
  3. 角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力部材
2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力
結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ
F = √(Fx² + Fy²)
てこ、ペンチ、ベルクランク
Fin·a = Fout·b
トグル
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

  1. 構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
  2. 二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
  3. ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
  4. 各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう
xyzab

a = (6, 4, −5) の b = (3, 4, 5) 上へのスカラー射影 compb a、つまり a の b 方向の成分を求めよ。

a = (6, 4, −5)b = (3, 4, 5)
compb a =
2.ベクトル：内積と外積むずかしい
xyzABC

頂点 A(−4, −4, −3)、B(3, −1, 3)、C(−2, −1, −2) をもつ三角形の面積 A を求めよ。座標の単位はメートルである。

A(−4, −4, −3)B(3, −1, 3)C(−2, −1, −2)
A = m²
3.はりの支点反力ふつう
P1​ = 55 kNP2​ = 75 kNABCRB​ = ?3.5 m0.5 m1 m

はりは A でピン支点、A から 4 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

AB = 4 mAC = 5 mP1 = 55 kN 位置 3.5 mP2 = 75 kN 位置 5 m
RB = kN
4.はりの支点反力むずかしい
w = 10 kN/mP = 30 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m7 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 10 mP = 30 kN 位置 3 mw = 10 kN/m（2 から 10 m まで）
RB = kN
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB35 kN5 m2 m2 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 35 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABCDEFGH30 kN30 kN25 kN30 kN4 × 4 m3 m

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。

F: 30 kN ↓G: 30 kN ↓H: 25 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1部材 AB
  2. 2部材 BC
  3. 3部材 CD
  4. 4部材 DE
  5. 5部材 FG
  6. 6部材 GH
  7. 7部材 AF
  8. 8部材 HE
  9. 9部材 BF
  10. 10部材 CG
  11. 11部材 DH
  12. 12部材 BG
  13. 13部材 DG
7.ラーメンと機械ふつう
OAB80 NQ100 mm150 mmFO​ = ?

図のベルクランクはピン O のまわりに回ります。A（O から 100 mm）での鉛直の力 80 N が、B（O の 150 mm 上）での水平な力とつり合っています。ピン反力の大きさ FO を求めなさい。

F = 80 NOA = 100 mmOB = 150 mm
FO = N
8.ラーメンと機械むずかしい
8 kN2 kN6 m2 mABC

重さ 2 kN の一様な水平ブーム AB が A で壁にピン接合され、B から A の 2 m 上の壁の点 C へのケーブルで保持されています。B に 8 kN の荷重がつり下がっています。ピン反力の大きさ A を求めなさい。

W = 8 kNWb = 2 kNAB = 6 mAC = 2 m
A = kN
9.せん断力と曲げモーメントふつう
45 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

45 kN @ 10 m30 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 20 kN/mAB3 m4 m1 m

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 8 mw = 20 kN/m（3 から 7 m まで）
Mmax = kN·m
11.図心と断面二次モーメントふつう
150 mm200 mm70 mmØ30xIx​ = ?

150 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 70 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mm穴の中心: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
2203026018xM = 5 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 5 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。

bf = 220 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 260 mmM = 5 kN·m
σ上端 = MPa

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: compb a = 1.273

内積（ドット積）：a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

内積

a·b = 6·3 + 4·4 + (−5)·5 = 9

b の長さ

|b| = √(3² + 4² + 5²) = 7.071

スカラー射影

compb a = a·b/|b| = 9/7.071 = 1.273

答え

compb a = 1.273
2.ベクトル：内積と外積

答え: A = 10.9 m²

外積（クロス積）：a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは MO = r × F（r = A − O）です。

辺ベクトル

AB = B − A = (7, 3, 6)
AC = C − A = (2, 3, 1)

外積

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 3·1 − 6·3 = −15
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = 6·2 − 7·1 = 5
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = 7·3 − 3·2 = 15
|AB × AC| = √((−15)² + 5² + 15²) = 21.79

三角形の面積

A = ½·21.79 = 10.9 m²

答え

A = 10.9 m²
3.はりの支点反力

答え: RB = 141.9 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·4 = 55·3.5 + 75·5
RB = 567.5/4 = 141.9 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 55 + 75 − 141.9 = −11.88 kN

答え

RB = 141.9 kN

RA は負です：A のピンははりを下に押さえつけなければなりません。

4.はりの支点反力

答え: RB = 57 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 10 kN/mP = 30 kNABRA​RB​2 m1 m7 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN、作用点 x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·3 + 10·8·6
RB = 570/10 = 57 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 57 = 53 kN

答え

RB = 57 kN
5.トラス：節点法

答え: FAB = −29.7 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·2 → Cy = 14 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 14 = 21 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −21/0.7071 = −29.7 kN

答え

FAB = −29.7 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 35.83 kN (T), BC: 61.67 kN (T), CD: 61.67 kN (T), DE: 47.5 kN (T), FG: 65.83 kN (C), GH: 77.5 kN (C), AF: 82.29 kN (C), HE: 59.37 kN (C), BF: 19.38 kN (T), CG: 0, DH: 10.63 kN (T), BG: 32.29 kN (C), DG: 17.71 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG
7.ラーメンと機械

答え: FO = 96.15 N

機械：ペンチ、てこ、リンク機構、クランプは、入力の力をより大きな、または向きの異なる出力の力に変えます。1 つの部品を自由物体として描き、その支点まわりのモーメントをとります：ピン力は消え、Fin·a = Fout·b から機械的利益 a/b が得られます。ピン力は、同じ部品の ΣF = 0 から求まります。トグルでは、2 本のリンクが浅い角度 θ で出会います。各リンクは二力部材なので、接合部の小さな力 F が、大きなリンク力 F/(2 sin θ) と締め付け力 F/(2 tan θ) を生みます。

B の力

Q = 80·100/150 = 53.33 N

ピン反力

Ox = 53.33 N, Oy = 80 N
FO = √(53.33² + 80²) = 96.15 N

答え

FO = 96.15 N
8.ラーメンと機械

答え: A = 27.02 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

ケーブルの張力

T = (8 + 2/2)/0.3162 = 28.46 kN

A での成分

Ax = T·cos β = 27 kN
Ay = 8 + 2 − T·sin β = 1 kN

大きさ

A = √(27² + 1²) = 27.02 kN

答え

A = 27.02 kN
9.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 22.5 kN, R2 = 52.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 45, MC = 90, MD = 135 kN·m, ME = 120, MF = 105, MG = 0

答え

点 D: MD = 135 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 112.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 20·4 = 80 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·4·5
RB = 400/8 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 50 = 30 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

RA − w·(x0 − 3) = 0
x0 = 3 + 30/20 = 4.5 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 3)²/2 = 30·4.5 − 20·1.5²/2 = 112.5 kN·m

答え

Mmax = 112.5 kN·m
11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 99.31 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (30000·100 − 706.9·70)/(30000 − 706.9) = 100.7 mm

ȳ まわりの全体の板

150·200³/12 + 30000·−0.7239² = 100 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·30⁴/64 + 706.9·−30.72² = 0.707 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 99.31 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 99.31 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: σ上端 = 4.451 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
ウェブ: Aw = 18·260 = 4680 mm², yw = 260/2 = 130 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6600·275 + 4680·130)/11280 = 214.8 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·30³/12 + 6600·(275 − 214.8)² = 2.438 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 18·260³/12 + 4680·(130 − 214.8)² = 6.005 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.438 × 10⁷ + 6.005 × 10⁷ = 8.443 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 290 − 214.8 = 75.16 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·75.16/8.443 × 10⁷ = 4.451 MPa

答え

σ上端 = 4.451 MPa

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