静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ
|a| = √(ax² + ay² + az²)
単位ベクトル
û = a/|a|
角度から成分を求める
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
内積
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影
a·b/|b|
仕事
W = F·d
外積
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面積
平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント
MO = r × F, r = A − O
平行六面体の体積
V = |a·(b × c)|

解き方

  1. すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
  2. 長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
  3. 角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力部材
2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力
結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ
F = √(Fx² + Fy²)
てこ、ペンチ、ベルクランク
Fin·a = Fout·b
トグル
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

  1. 構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
  2. 二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
  3. ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
  4. 各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう
xyzab

a = (0, −2, 1) と b = (3, −6, 4) の内積 a·b を求めよ。

a = (0, −2, 1)b = (3, −6, 4)
a·b =
2.ベクトル：内積と外積むずかしい
xyzabc

1 つの頂点から出る辺が a = (4, −3, 3)、b = (−4, −3, 3)、c = (5, −4, 1) である平行六面体の体積 V を求めよ。

a = (4, −3, 3)b = (−4, −3, 3)c = (5, −4, 1)
V =
3.はりの支点反力ふつう
P1​ = 75 kNP2​ = 60 kNABCRA​ = ?2 m2 m2 m

はりは A でピン支点、A から 4 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。

AB = 4 mAC = 6 mP1 = 75 kN 位置 2 mP2 = 60 kN 位置 6 m
RA = kN
4.はりの支点反力むずかしい
w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​1 m7 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 10 mP = 55 kN 位置 1 mw = 2 kN/m（8 から 10 m まで）
RA = kN
5.トラス：節点法ふつう
ABCDEFGH20 kN25 kN40 kN40 kN4 × 3 m3 m

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。

D: 20 kN ↓F: 25 kN ↓G: 40 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1部材 AB
  2. 2部材 BC
  3. 3部材 CD
  4. 4部材 DE
  5. 5部材 FG
  6. 6部材 GH
  7. 7部材 AF
  8. 8部材 HE
  9. 9部材 BF
  10. 10部材 CG
  11. 11部材 DH
  12. 12部材 BG
  13. 13部材 DG
6.トラス：節点法むずかしい
ABCDEFGH30 kN25 kN15 kN10 kN20 kN4 × 4 m3 m

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。

C: 30 kN ↓D: 25 kN ↓F: 15 kN →G: 10 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1部材 AB
  2. 2部材 BC
  3. 3部材 CD
  4. 4部材 DE
  5. 5部材 FG
  6. 6部材 GH
  7. 7部材 AF
  8. 8部材 HE
  9. 9部材 BF
  10. 10部材 CG
  11. 11部材 DH
  12. 12部材 FC
  13. 13部材 HC
7.ラーメンと機械ふつう
20 kN4 m4 m1.2 mABCK

図のフレームには A、B、C にピンがあり、A と C は 4 m 離れて地面に固定され、B は地面から 4 m の高さで A の 1.2 m 右にあります。部材 AB 上の A から（水平に）0.3 m の点 K に鉛直荷重 20 kN が作用します。部材 BC の力 FBC を求めなさい。

P = 20 kNL = 4 mH = 4 mA から B までの水平距離 = 1.2 mA から K までの水平距離 = 0.3 m
FBC = kN
8.ラーメンと機械むずかしい
2 kN6 m1.5 m2.5 mABCDE

図の A 形フレームは、6 m 離れた A のピンと B のローラーで立っています。脚は高さ 4 m のピン C で出会い、水平なつなぎ材 DE で 1.5 m の位置で結ばれています。C に右向きの水平力 2 kN が作用します。つなぎ材の張力 T を求めなさい。

P = 2 kNAB = 6 mC の高さ = 4 mDE の高さ = 1.5 m
T = kN
9.せん断力と曲げモーメントふつう
5 kN/m55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

55 kN @ 4 m5 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
12 kN/m30 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

30 kN @ 12 m15 kN @ 4 m12 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.図心と断面二次モーメントふつう
1002010014x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
19028014390108x寸法の単位：mm

溶接 I 形断面は、上フランジ 190 × 14 mm、高さ 390 mm・厚さ 8 mm のウェブ、下フランジ 280 × 10 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

上フランジ: 190 × 14 mmウェブ: 8 × 390 mm下フランジ: 280 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: a·b = 16

内積（ドット積）：a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

対応する成分を掛けて足す

a·b = 0·3 + (−2)·(−6) + 1·4 = 0 + 12 + 4 = 16

答え

a·b = 16

正：2 つのベクトルのなす角は 90° より小さい。

2.ベクトル：内積と外積

答え: V = 72

外積（クロス積）：a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは MO = r × F（r = A − O）です。

外積 b × c

(b × c)x = bycz − bzcy = (−3)·1 − 3·(−4) = 9
(b × c)y = bzcx − bxcz = 3·5 − (−4)·1 = 19
(b × c)z = bxcy − bycx = (−4)·(−4) − (−3)·5 = 31

a との内積

a·(b × c) = 4·9 + (−3)·19 + 3·31 = 72
V = |72| = 72

答え

V = 72
3.はりの支点反力

答え: RA = 7.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·4 = 75·2 + 60·6
RB = 510/4 = 127.5 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 75 + 60 − 127.5 = 7.5 kN

答え

RA = 7.5 kN
4.はりの支点反力

答え: RA = 49.9 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1 m7 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN、作用点 x̄ = 9 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·1 + 2·2·9
RB = 91/10 = 9.1 kN
ΣFy = 0: RA = 59 − 9.1 = 49.9 kN

答え

RA = 49.9 kN
5.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 53.75 kN (T), BC: 82.5 kN (T), CD: 82.5 kN (T), DE: 71.25 kN (T), FG: 53.75 kN (C), GH: 71.25 kN (C), AF: 76.01 kN (C), HE: 100.8 kN (C), BF: 28.75 kN (T), CG: 0, DH: 31.25 kN (T), BG: 40.66 kN (C), DG: 15.91 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG
6.トラス：節点法

答え: 部材 BF

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 B

AB と BC は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、BF だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 52.92 kN (T), BC: 52.92 kN (T), CD: 75.42 kN (T), DE: 75.42 kN (T), FG: 90.83 kN (C), GH: 90.83 kN (C), AF: 47.4 kN (C), HE: 94.27 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 47.4 kN (T), HC: 19.27 kN (T)

答え

ゼロ部材: BF
7.ラーメンと機械

答え: FBC = 1.831 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

二力部材 BC

BC = √(2.8² + 4²) = 4.883 m

フレーム全体：A まわりのモーメント

地面は C で CB に沿って BC を押します：その水平成分は A を通り、モーメントをもつのは鉛直成分だけです。

FBC·(4/4.883)·4 = 20·0.3
FBC = 1.831 kN （圧縮）

答え

FBC = 1.831 kN
8.ラーメンと機械

答え: T = 1.6 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

フレーム全体：A まわりのモーメント

By·6 = 2·4
By = 1.333 kN

脚 BC：C まわりのモーメント

1.333·3 = T·2.5
T = 1.6 kN

答え

T = 1.6 kN

T が正なら、仮定したとおり、つなぎ材は引張を受けています。

9.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 33.33 kN, R2 = 51.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 30.83, MC = 56.67, MD = 77.5, ME = 93.33 kN·m, MF = 49.17, MG = 0

答え

点 E: ME = 93.33 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 63 kN, R2 = 102 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 102, MC = 156 kN·m, MD = 132, ME = 60, MF = −60, MG = 0

答え

点 C: MC = 156 kN·m
11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 4.198 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 100 + 20/2 = 110 mm
ウェブ: Aw = 14·100 = 1400 mm², yw = 100/2 = 50 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·110 + 1400·50)/3400 = 85.29 mm

平行軸の定理

フランジ: 100·20³/12 + 2000·(110 − 85.29)² = 1.287 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 14·100³/12 + 1400·(50 − 85.29)² = 2.911 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.287 × 10⁶ + 2.911 × 10⁶ = 4.198 × 10⁶ mm⁴ = 4.198 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 4.198 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 260.1 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 2660 mm², y = 407 mm
ウェブ: A = 3120 mm², y = 205 mm
下フランジ: A = 2800 mm², y = 5 mm

図心

ȳ = (2660·407 + 3120·205 + 2800·5)/8580 = 202.4 mm

平行軸の定理

上フランジ: 190·14³/12 + 2660·204.6² = 1.114 × 10⁸ mm⁴
ウェブ: 8·390³/12 + 3120·2.643² = 3.957 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 280·10³/12 + 2800·197.4² = 1.091 × 10⁸ mm⁴
Ix = 1.114 × 10⁸ + 3.957 × 10⁷ + 1.091 × 10⁸
Ix = 2.601 × 10⁸ mm⁴ = 260.1 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 260.1 × 10⁶ mm⁴

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