静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力部材: 2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力: 結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ: F = √(F_x² + F_y²)
てこ、ペンチ、ベルクランク: F_in·a = F_out·b
トグル: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (1, −3, 6) と b = (6, −2, −6) の内積 a·b を求めよ。

a = (1, −3, 6)b = (6, −2, −6)

a·b =

2.ベクトル：内積と外積むずかしい

1 つの頂点から出る辺が a = (4, 5, 5)、b = (5, 1, 0)、c = (2, 5, 1) である平行六面体の体積 V を求めよ。

a = (4, 5, 5)b = (5, 1, 0)c = (2, 5, 1)

V =

3.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 10 mP₁ = 10 kN 位置 3 mP₂ = 20 kN 位置 5 m

R_B = kN

4.はりの支点反力むずかしい

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 12 kN/m で自由端 B で 0 まで直線的に減少する分布荷重と、壁から 1.5 m の位置の集中荷重 P が作用する。壁における反力モーメント M_A の大きさを求めよ。

L = 5 mw₀ = 12 kN/mP = 45 kN 位置 1.5 m

M_A = kN·m

5.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 10 kN

F_BC = kN

6.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 10 kN ←

F_AB = kN

7.ラーメンと機械ふつう

図の A 形フレームは、3 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 3 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）0.75 m の点 K に、鉛直荷重 12 kN が作用します。つなぎ材の張力 T を求めなさい。

P = 12 kNAB = 3 mC の高さ = 3 mDE の高さ = 1 mA から K までの水平距離 = 0.75 m

T = kN

8.ラーメンと機械むずかしい

重さ 2 kN の一様な水平ブーム AB が A で壁にピン接合され、B から A の 1 m 上の壁の点 C へのケーブルで保持されています。B に 15 kN の荷重がつり下がっています。ピン反力の大きさ A を求めなさい。

W = 15 kNW_b = 2 kNAB = 2 mAC = 1 m

A = kN

9.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

40 kN @ 2 m6 kN/m, 2–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.せん断力と曲げモーメントむずかしい

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 4 mw = 4 kN/m（1 から 3 m まで）

M_max = kN·m

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 50 MPa、圧縮で 150 MPa である。はりが負担できる最大の負の曲げモーメント M_allow を求めよ（大きさで答えよ）。

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: a·b = −24

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

対応する成分を掛けて足す

a·b = 1·6 + (−3)·(−2) + 6·(−6) = 6 + 6 + (−36) = −24

答え

a·b = −24

負：2 つのベクトルのなす角は 90° より大きい。

2.ベクトル：内積と外積

答え: V = 94

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

外積 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 1·1 − 0·5 = 1

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 0·2 − 5·1 = −5

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·5 − 1·2 = 23

a との内積

a·(b × c) = 4·1 + 5·(−5) + 5·23 = 94

V = |94| = 94

答え

V = 94

3.はりの支点反力

答え: R_B = 13 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·3 + 20·5

R_B = 130/10 = 13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 13 = 17 kN

答え

R_B = 13 kN

4.はりの支点反力

答え: M_A = 117.5 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 R_A と反力モーメント M_A を与えます。ΣF_y = 0 から R_A が、壁まわりのモーメントから M_A = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

三角形分布荷重の合力

W = ½·12·5 = 30 kN

x̄ = L/3 = 1.667 m

壁まわりのモーメント

M_A = W·x̄ + P·a = 30·1.667 + 45·1.5 = 117.5 kN·m

答え

M_A = 117.5 kN·m

5.トラス：節点法

答え: F_BC = −7.454 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·4 → C_y = 6.667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 6.667 = 3.333 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6.667/0.8944 = −7.454 kN

答え

F_BC = −7.454 kN (圧縮)

6.トラス：節点法

答え: F_AB = −30.05 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·2 − 10·3 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 5 = 25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −25/0.8321 = −30.05 kN

答え

F_AB = −30.05 kN (圧縮)

7.ラーメンと機械

答え: T = 2.25 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

フレーム全体：A まわりのモーメント

B_y = 12·0.75/3 = 3 kN

脚 BC：C まわりのモーメント

3·1.5 = T·2

T = 2.25 kN

答え

T = 2.25 kN

8.ラーメンと機械

答え: A = 32.02 kN

ケーブルの張力

T = (15 + 2/2)/0.4472 = 35.78 kN

A での成分

A_x = T·cos β = 32 kN

A_y = 15 + 2 − T·sin β = 1 kN

大きさ

A = √(32² + 1²) = 32.02 kN

答え

A = 32.02 kN

9.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 2 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 34.17 kN, R₂ = 23.83 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 34.17, M_C = 68.33 kN·m, M_D = 59.5, M_E = 44.67, M_F = 23.83, M_G = 0

答え

点 C: M_C = 68.33 kN·m

10.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 6 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN、作用点 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·2·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は R_A から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 4/4 = 2 m

最大モーメント

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 4·2 − 4·1²/2 = 6 kN·m

答え

M_max = 6 kN·m

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 74.02 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307.5 mm

ウェブ: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·307.5 + 5400·150)/7200 = 189.4 mm

平行軸の定理

フランジ: 120·15³/12 + 1800·(307.5 − 189.4)² = 2.515 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 18·300³/12 + 5400·(150 − 189.4)² = 4.887 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.515 × 10⁷ + 4.887 × 10⁷ = 7.402 × 10⁷ mm⁴ = 74.02 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 74.02 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: M_allow = 27.28 kN·m

図心

ȳ = (4200·275 + 2080·130)/6280 = 227 mm

上縁: c = 290 − 227 = 63.03 mm

断面二次モーメント

I = 140·30³/12 + 4200·48.03² + 8·260³/12 + 2080·96.97² = 4.128 × 10⁷ mm⁴

各縁で許容されるモーメント

負の曲げ：上側は引張、下側は圧縮です。

上縁: M = 50·4.128 × 10⁷/63.03 = 32.75 kN·m

下縁: M = 150·4.128 × 10⁷/227 = 27.28 kN·m

決定値

M_allow = min = 27.28 kN·m (下縁)

答え

M_allow = 27.28 kN·m

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