図の A 形フレームは、6 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 3 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1.5 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）0.75 m の点 K に、鉛直荷重 6 kN が作用します。つなぎ材の張力 T を求めなさい。
P = 6 kNAB = 6 mC の高さ = 3 mDE の高さ = 1.5 mA から K までの水平距離 = 0.75 m
T = kN
8.ラーメンと機械むずかしい
トグルプレスに、ピン間の長さがそれぞれ 80 mm の等しい 2 本のリンク AB と BC があります。接合部 B は線 AC の 12 mm 上にあります。スライダ C で水平方向の押し付け力 4000 N を生じるには、B にどれだけの下向きの力 F が必要ですか。摩擦と重さは無視します。
Q = 4000 NAB = BC = 80 mmh = 12 mm
F = N
9.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 6.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 4 kN/m（0 から 8 m まで）x = 6.5 m
Mx = kN·m
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 7 mw = 4 kN/m（0 から 7 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m
Mmax = kN·m
11.図心と断面二次モーメントふつう
150 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 210 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mm穴の中心: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 200 mm の板に、幅 60 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 80 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 200 mm切り欠き: 60 × 40 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3溶液
1.ベクトル：内積と外積
答え: θ = 121.6 °
内積（ドット積）：a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。
内積
a·b = 3·1 + 6·(−5) + (−1)·(−4) = −23
大きさ
|a| = √(3² + 6² + (−1)²) = 6.782
|b| = √(1² + (−5)² + (−4)²) = 6.481
位相角
cos θ = −23/(6.782·6.481) = −0.5233
θ = arccos(−0.5233) = 121.6°
答え
θ = 121.6°
2.ベクトル：内積と外積
答え: V = 63
外積（クロス積）：a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは MO = r × F（r = A − O）です。
機械：ペンチ、てこ、リンク機構、クランプは、入力の力をより大きな、または向きの異なる出力の力に変えます。1 つの部品を自由物体として描き、その支点まわりのモーメントをとります：ピン力は消え、Fin·a = Fout·b から機械的利益 a/b が得られます。ピン力は、同じ部品の ΣF = 0 から求まります。トグルでは、2 本のリンクが浅い角度 θ で出会います。各リンクは二力部材なので、接合部の小さな力 F が、大きなリンク力 F/(2 sin θ) と締め付け力 F/(2 tan θ) を生みます。
リンクの角度
sin θ = 12/80 = 0.15, θ = 8.627°
リンクの力
Flink = Q/cos θ = 4046 N
B の力
F = 2·Flink·sin θ = 2·4000·tan θ = 1214 N
答え
F = 1214 N
9.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 19.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
x = 6.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 16·6.5 − 4·6.5·3.25 = 19.5 kN·m
答え
Mx = 19.5 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 8.82 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。