静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ
|a| = √(ax² + ay² + az²)
単位ベクトル
û = a/|a|
角度から成分を求める
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
内積
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影
a·b/|b|
仕事
W = F·d
外積
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面積
平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント
MO = r × F, r = A − O
平行六面体の体積
V = |a·(b × c)|

解き方

  1. すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
  2. 長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
  3. 角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力部材
2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力
結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ
F = √(Fx² + Fy²)
てこ、ペンチ、ベルクランク
Fin·a = Fout·b
トグル
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

  1. 構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
  2. 二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
  3. ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
  4. 各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう
xyzab

a = (2, −1, −4) と b = (−7, −2, −7) の内積 a·b を求めよ。

a = (2, −1, −4)b = (−7, −2, −7)
a·b =
2.ベクトル：内積と外積むずかしい
xyzrFOA

力 F = (−50, 40, −60) N が点 A(0, 4, −1) に作用している。座標の単位はメートルである。 原点 O(0, 0, 0) まわりの力のモーメントの x 成分 Mx を求めよ。

F = (−50, 40, −60) NA(0, 4, −1) mO(0, 0, 0) m
Mx = N·m
3.はりの支点反力ふつう
P = 35 kNM = 60 kN·mABRB​ = ?2 m2 m4 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 4 m の位置に集中荷重 P が、A から 2 m の位置に時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

L = 8 mP = 35 kN 位置 4 mM = 60 kN·m (時計回り) 位置 2 m
RB = kN
4.はりの支点反力むずかしい
w0​ = 6 kN/mP = 70 kNABMA​ = ?8 m2 m

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 6 kN/m で自由端 B で 0 まで直線的に減少する分布荷重と、壁から 8 m の位置の集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

L = 10 mw0 = 6 kN/mP = 70 kN 位置 8 m
MA = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB35 kN4 m3 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 35 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB30 kN30 kN6 m1 m4 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 30 kN →
FAC = kN
7.ラーメンと機械ふつう
4 kN4 m1.2 m2.4 m1 mABCDEK

図の A 形フレームは、4 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 3.6 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1.2 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）1 m の点 K に、鉛直荷重 4 kN が作用します。つなぎ材の張力 T を求めなさい。

P = 4 kNAB = 4 mC の高さ = 3.6 mDE の高さ = 1.2 mA から K までの水平距離 = 1 m
T = kN
8.ラーメンと機械むずかしい
20 kN4.8 m1.2 m3.3 m1.8 mABCDEK

図の A 形フレームは、4.8 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 4.5 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1.2 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）1.8 m の点 K に、鉛直荷重 20 kN が作用します。ピン C が脚 BC に及ぼす力の大きさ C を求めなさい。

P = 20 kNAB = 4.8 mC の高さ = 4.5 mDE の高さ = 1.2 mA から K までの水平距離 = 1.8 m
C = kN
9.せん断力と曲げモーメントふつう
4 kN/m45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

45 kN @ 6 m4 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
10 kN/m30 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

30 kN @ 12 m25 kN @ 4 m10 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm240 mm156 mmØ40xIx​ = ?

100 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 156 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mm穴の中心: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
2002014020xM = 5 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 5 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。

bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 140 mmM = 5 kN·m
σ上端 = MPa

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: a·b = 16

内積（ドット積）：a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

対応する成分を掛けて足す

a·b = 2·(−7) + (−1)·(−2) + (−4)·(−7) = (−14) + 2 + 28 = 16

答え

a·b = 16

正：2 つのベクトルのなす角は 90° より小さい。

2.ベクトル：内積と外積

答え: Mx = −200 N·m

外積（クロス積）：a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは MO = r × F（r = A − O）です。

O から A への位置ベクトル

r = A − O = (0, 4, −1) − (0, 0, 0) = (0, 4, −1) m

モーメント M = r × F

(r × F)x = ryFz − rzFy = 4·(−60) − (−1)·40 = −200 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = (−1)·(−50) − 0·(−60) = 50 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = 0·40 − 4·(−50) = 200 N·m

求める成分

Mx = −200 N·m

答え

Mx = −200 N·m
3.はりの支点反力

答え: RB = 25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·8 − 35·4 − 60 = 0
RB = 200/8 = 25 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 35 − 25 = 10 kN

答え

RB = 25 kN

負の反力は下向きに作用します。

4.はりの支点反力

答え: MA = 660 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

三角形分布荷重の合力

W = ½·6·10 = 30 kN
x̄ = L/3 = 3.333 m

壁まわりのモーメント

MA = W·x̄ + P·a = 30·3.333 + 70·8 = 660 kN·m

答え

MA = 660 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAB = −10.94 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 → Cy = 26.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 26.25 = 8.75 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −8.75/0.8 = −10.94 kN

答え

FAB = −10.94 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 31.25 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 30·1 + 30·4 → Cy = 25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 25 = 5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −25/0.6247 = −40.02 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−40.02)·0.7809 = 31.25 kN

答え

FAC = 31.25 kN (引張)
7.ラーメンと機械

答え: T = 0.8333 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

フレーム全体：A まわりのモーメント

By = 4·1/4 = 1 kN

脚 BC：C まわりのモーメント

1·2 = T·2.4
T = 0.8333 kN

答え

T = 0.8333 kN
8.ラーメンと機械

答え: C = 9.274 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

B の支点反力

By = 20·1.8/4.8 = 7.5 kN

つなぎ材の力

T = 7.5·2.4/3.3 = 5.455 kN

BC に作用するピン力

Cx = 5.455 kN, Cy = −7.5 kN
C = √(5.455² + 7.5²) = 9.274 kN

答え

C = 9.274 kN
9.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 46.5 kN, R2 = 46.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 85, MC = 154, MD = 207 kN·m, ME = 154, MF = 85, MG = 0

答え

点 D: MD = 207 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 59 kN, R2 = 96 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 98, MC = 156 kN·m, MD = 124, ME = 52, MF = −60, MG = 0

答え

点 C: MC = 156 kN·m
11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 113.4 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (24000·120 − 1257·156)/(24000 − 1257) = 118 mm

ȳ まわりの全体の板

100·240³/12 + 24000·1.989² = 115.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·40⁴/64 + 1257·37.99² = 1.939 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 113.4 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 113.4 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: σ上端 = 14.08 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 140 + 20/2 = 150 mm
ウェブ: Aw = 20·140 = 2800 mm², yw = 140/2 = 70 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·150 + 2800·70)/6800 = 117.1 mm

平行軸の定理

フランジ: 200·20³/12 + 4000·(150 − 117.1)² = 4.474 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 20·140³/12 + 2800·(70 − 117.1)² = 1.077 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.474 × 10⁶ + 1.077 × 10⁷ = 1.525 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 160 − 117.1 = 42.94 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·42.94/1.525 × 10⁷ = 14.08 MPa

答え

σ上端 = 14.08 MPa

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