Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
対応する成分を掛けて足す
a·b = 7·0 + 7·7 + 6·(−6) = 0 + 49 + (−36) = 13
答え
a·b = 13
正：2 つのベクトルのなす角は 90° より小さい。
2.ベクトル：内積と外積
答え: A = 10.31 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。
支点反力
A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 10/4 = 2.5 kN (上向き)
RA = −RB = −2.5 kN (下向き)
偶力のすぐ左で切断
左側部分には RA だけが含まれます。
Mx = RA·a = −2.5·1.5 = −3.75 kN·m
答え
Mx = −3.75 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 222.8 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·6 + 10·10·5
RB = 770/10 = 77 kN
ΣFy = 0: RA = 145 − 77 = 68 kN
x = 5.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 68·5.5 − 10·5.5·2.75 = 222.8 kN·m
答え
Mx = 222.8 kN·m
11.図心と断面二次モーメント
答え: r = 99.06 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。