図の A 形フレームは、5 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 3.6 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1.8 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）1.875 m の点 K に、鉛直荷重 12 kN が作用します。つなぎ材の張力 T を求めなさい。
P = 12 kNAB = 5 mC の高さ = 3.6 mDE の高さ = 1.8 mA から K までの水平距離 = 1.875 m
T = kN
8.ラーメンと機械むずかしい
トグルプレスに、ピン間の長さがそれぞれ 80 mm の等しい 2 本のリンク AB と BC があります。接合部 B は線 AC の 10 mm 上にあります。スライダ C で水平方向の押し付け力 1000 N を生じるには、B にどれだけの下向きの力 F が必要ですか。摩擦と重さは無視します。
Q = 1000 NAB = BC = 80 mmh = 10 mm
F = N
9.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
60 kN @ 6 m8 kN/m, 2–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 10 mP = 30 kN 位置 4 mw = 12 kN/m（0 から 10 m まで）
Mmax = kN·m
11.図心と断面二次モーメントふつう
200 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 80 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm × 240 mm の板に、幅 40 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 168 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 240 mm切り欠き: 40 × 50 mm穴の中心: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3溶液
1.ベクトル：内積と外積
答え: θ = 83.41 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
内積
a·b = (−3)·(−3) + 3·(−2) + 0·5 = 3
大きさ
|a| = √((−3)² + 3² + 0²) = 4.243
|b| = √((−3)² + (−2)² + 5²) = 6.164
位相角
cos θ = 3/(4.243·6.164) = 0.1147
θ = arccos(0.1147) = 83.41°
答え
θ = 83.41°
2.ベクトル：内積と外積
答え: A = 27
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
外積
(a × b)x = aybz − azby = 0·(−2) − (−5)·0 = 0
(a × b)y = azbx − axbz = (−5)·5 − (−1)·(−2) = −27
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·0 − 0·5 = 0
面積
A = |a × b| = √(0² + (−27)² + 0²) = 27
答え
A = 27
3.はりの支点反力
答え: RA = 85 kN
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
MA = 0, MB = 124, MC = 232, MD = 308 kN·m, ME = 232, MF = 124, MG = 0
答え
点 D: MD = 308 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 216 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·4 + 12·10·5
RB = 720/10 = 72 kN
ΣFy = 0: RA = 150 − 72 = 78 kN
V = 0 となるのはどこですか？
V(4⁻) = RA − w·4 = 30 kN
V(4⁺) = 30 − 30 = 0 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。
最大モーメント
Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 78·4 − 12·4²/2 = 216 kN·m
答え
Mmax = 216 kN·m
それは A から x = 4 m の位置に生じます。
11.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 133 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (40000·100 − 706.9·80)/(40000 − 706.9) = 100.4 mm
ȳ まわりの全体の板
200·200³/12 + 40000·−0.3598² = 133.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·30⁴/64 + 706.9·−20.36² = 0.3328 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 133 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 133 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 132.9 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (28800·120 − 2000·168)/(28800 − 2000) = 116.4 mm