静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力部材: 2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力: 結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ: F = √(F_x² + F_y²)
てこ、ペンチ、ベルクランク: F_in·a = F_out·b
トグル: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (3, 5, −6) と b = (−7, −1, 5) の内積 a·b を求めよ。

a = (3, 5, −6)b = (−7, −1, 5)

a·b =

2.ベクトル：内積と外積むずかしい

単位ベクトル n̂ は、a = (2, −1, 0) と b = (4, 1, −1) の両方に垂直で、z 成分が正である。その x 成分 n̂_x を求めよ。

a = (2, −1, 0)b = (4, 1, −1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 1.5 m の位置に集中荷重 P が、A から 1 m の位置に反時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 R_B を求めよ。

L = 5 mP = 30 kN 位置 1.5 mM = 60 kN·m (反時計回り) 位置 1 m

R_B = kN

4.はりの支点反力むずかしい

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 12 kN/m で自由端 B で 0 まで直線的に減少する分布荷重と、壁から 2.5 m の位置の集中荷重 P が作用する。壁における反力モーメント M_A の大きさを求めよ。

L = 4 mw₀ = 12 kN/mP = 30 kN 位置 2.5 m

M_A = kN·m

5.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AC の軸力 F_AC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 20 kN

F_AC = kN

6.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 AC の軸力 F_AC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 15 kN水平荷重 = 10 kN ←

F_AC = kN

7.ラーメンと機械ふつう

図の A 形フレームは、2 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 2.5 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 0.6 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）0.75 m の点 K に、鉛直荷重 4 kN が作用します。つなぎ材の張力 T を求めなさい。

P = 4 kNAB = 2 mC の高さ = 2.5 mDE の高さ = 0.6 mA から K までの水平距離 = 0.75 m

T = kN

8.ラーメンと機械むずかしい

図の壁付きブラケットの梁 AB は A でピン接合され、支柱 CD で支えられています（C は A の 0.6 m 下）。梁は全長にわたる 3 kN/m の等分布荷重と、自由端 B の 10 kN の集中荷重を受けます。支柱の力 F_CD を求めなさい。

w = 3 kN/mP = 10 kNAD = 1.6 mAB = 3.6 mAC = 0.6 m

F_CD = kN

9.せん断力と曲げモーメントふつう

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。固定端 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 45 kN 位置 1.5 mw = 2 kN/m（0 から 4 m まで）x = 0.5 m

M_x = kN·m

10.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 15 kN 位置 3 mw = 4 kN/m（0 から 6 m まで）x = 3 m

M_x = kN·m

11.図心と断面二次モーメントふつう

150 mm × 150 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 45 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mm穴の中心: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

100 mm × 150 mm の板に、幅 60 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 60 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 100 mmh = 150 mm切り欠き: 60 × 40 mm穴の中心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: a·b = −56

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

対応する成分を掛けて足す

a·b = 3·(−7) + 5·(−1) + (−6)·5 = (−21) + (−5) + (−30) = −56

答え

a·b = −56

負：2 つのベクトルのなす角は 90° より大きい。

2.ベクトル：内積と外積

答え: n̂_x = 0.1562

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

外積

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·(−1) − 0·1 = 1

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·4 − 2·(−1) = 2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·1 − (−1)·4 = 6

正規化する

a × b の z 成分はすでに正です。

|a × b| = √(1² + 2² + 6²) = 6.403

n̂ = (1, 2, 6)/6.403 = (0.1562, 0.3123, 0.937)

n̂_x = 0.1562

答え

n̂_x = 0.1562

3.はりの支点反力

答え: R_B = −3 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·5 − 30·1.5 + 60 = 0

R_B = −15/5 = −3 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 30 − (−3) = 33 kN

答え

R_B = −3 kN

負の反力は下向きに作用します。

4.はりの支点反力

答え: M_A = 107 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 R_A と反力モーメント M_A を与えます。ΣF_y = 0 から R_A が、壁まわりのモーメントから M_A = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

三角形分布荷重の合力

W = ½·12·4 = 24 kN

x̄ = L/3 = 1.333 m

壁まわりのモーメント

M_A = W·x̄ + P·a = 24·1.333 + 30·2.5 = 107 kN·m

答え

M_A = 107 kN·m

5.トラス：節点法

答え: F_AC = 5 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 15 = 5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0.9487 = −15.81 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−15.81)·0.3162 = 5 kN

答え

F_AC = 5 kN (引張)

6.トラス：節点法

答え: F_AC = 5.625 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·5 − 10·3 → C_y = 5.625 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 5.625 = 9.375 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5.625/0.7071 = −7.955 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−7.955)·0.7071 = 5.625 kN

答え

F_AC = 5.625 kN (引張)

7.ラーメンと機械

答え: T = 0.7895 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

フレーム全体：A まわりのモーメント

B_y = 4·0.75/2 = 1.5 kN

脚 BC：C まわりのモーメント

1.5·1 = T·1.9

T = 0.7895 kN

答え

T = 0.7895 kN

8.ラーメンと機械

答え: F_CD = 98.68 kN

等分布荷重の合力

w·L = 3·3.6 = 10.8 kN 位置 1.8 m

梁の A まわりのモーメント

F_CD·0.3511·1.6 = 10.8·1.8 + 10·3.6 = 55.44 kN·m

F_CD = 98.68 kN

答え

F_CD = 98.68 kN

9.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = −57.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −45·1 = −45 kN·m

w: −2·3.5²/2 = −12.25 kN·m

M_x = −45 − 12.25 = −57.25 kN·m

答え

M_x = −57.25 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

10.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 40.5 kN·m

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·3 + 4·6·3

R_B = 117/6 = 19.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 19.5 = 19.5 kN

x = 3 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 19.5·3 − 4·3·1.5 = 40.5 kN·m

答え

M_x = 40.5 kN·m

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 40.86 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (22500·75 − 1257·45)/(22500 − 1257) = 76.77 mm

ȳ まわりの全体の板

150·150³/12 + 22500·−1.775² = 42.26 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·40⁴/64 + 1257·−31.77² = 1.394 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 40.86 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 40.86 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 27.16 × 10⁶ mm⁴

図心

ȳ = (15000·75 − 2400·60)/(15000 − 2400) = 77.86 mm

ȳ まわりの全体の板

100·150³/12 + 15000·−2.857² = 28.25 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

60·40³/12 + 2400·−17.86² = 1.085 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 27.16 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 27.16 × 10⁶ mm⁴

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