静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ
|a| = √(ax² + ay² + az²)
単位ベクトル
û = a/|a|
角度から成分を求める
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
内積
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影
a·b/|b|
仕事
W = F·d
外積
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面積
平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント
MO = r × F, r = A − O
平行六面体の体積
V = |a·(b × c)|

解き方

  1. すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
  2. 長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
  3. 角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力部材
2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力
結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ
F = √(Fx² + Fy²)
てこ、ペンチ、ベルクランク
Fin·a = Fout·b
トグル
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

  1. 構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
  2. 二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
  3. ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
  4. 各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう
xyzdFAB

一定の力 F = (15, −30, −30) N が、点 A(1, 3, 5) から点 B(−4, −5, −5) まで直線上を動く物体に作用している。座標の単位はメートルである。この力がする仕事 W を求めよ。

F = (15, −30, −30) NA(1, 3, 5) mB(−4, −5, −5) m
W = J
2.ベクトル：内積と外積むずかしい
xyzab

単位ベクトル n̂ は、a = (−4, 0, −1) と b = (−2, 3, 1) の両方に垂直で、z 成分が正である。その y 成分 n̂y を求めよ。

a = (−4, 0, −1)b = (−2, 3, 1)n̂z > 0
n̂y =
3.はりの支点反力ふつう
P1​ = 20 kNP2​ = 20 kNABRA​ = ?RB​1 m0.5 m2.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 4 mP1 = 20 kN 位置 1 mP2 = 20 kN 位置 1.5 m
RA = kN
4.はりの支点反力むずかしい
w = 6 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​6 m2 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 10 mP = 50 kN 位置 6 mw = 6 kN/m（8 から 10 m まで）
RA = kN
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB30 kN5 m1 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 30 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABCDEFGH35 kN30 kN40 kN25 kN30 kN4 × 3 m3 m

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。

D: 35 kN ↓F: 30 kN ↓F: 40 kN →G: 25 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1部材 AB
  2. 2部材 BC
  3. 3部材 CD
  4. 4部材 DE
  5. 5部材 FG
  6. 6部材 GH
  7. 7部材 AF
  8. 8部材 HE
  9. 9部材 BF
  10. 10部材 CG
  11. 11部材 DH
  12. 12部材 FC
  13. 13部材 HC
7.ラーメンと機械ふつう
20 kN5 m1.5 m2.5 mABCDE

図の A 形フレームは、5 m 離れた A のピンと B のローラーで立っています。脚は高さ 4 m のピン C で出会い、水平なつなぎ材 DE は地面から 1.5 m の高さにあります。C に 20 kN の荷重が作用します。ピン C が脚 BC に及ぼす力の大きさ C を求めなさい。

P = 20 kNAB = 5 mC の高さ = 4 mDE の高さ = 1.5 m
C = kN
8.ラーメンと機械むずかしい
F = ?1500 N30 mmABC

トグルプレスに、ピン間の長さがそれぞれ 80 mm の等しい 2 本のリンク AB と BC があります。接合部 B は線 AC の 30 mm 上にあります。スライダ C で水平方向の押し付け力 1500 N を生じるには、B にどれだけの下向きの力 F が必要ですか。摩擦と重さは無視します。

Q = 1500 NAB = BC = 80 mmh = 30 mm
F = N
9.せん断力と曲げモーメントふつう
35 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

35 kN @ 6 m40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 12 kN/mP = 50 kNAB断面3 m1 m

支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 50 kN 位置 3 mw = 12 kN/m（0 から 4 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
11.図心と断面二次モーメントふつう
2102802410x寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 210 mm、厚さ 24 mm、全高は 280 mm、ウェブの厚さは 10 mm である。 水平な図心軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

B = 210 mmH = 280 mmtf = 24 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
1001524010xM = 25 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 25 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。

bf = 100 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 240 mmM = 25 kN·m
σ下端 = MPa

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: W = 465 J

内積（ドット積）：a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

変位

d = B − A = (−4, −5, −5) − (1, 3, 5) = (−5, −8, −10) m

仕事

W = F·d = 15·(−5) + (−30)·(−8) + (−30)·(−10) = 465 J

答え

W = 465 J
2.ベクトル：内積と外積

答え: n̂y = −0.4364

外積（クロス積）：a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは MO = r × F（r = A − O）です。

外積

(a × b)x = aybz − azby = 0·1 − (−1)·3 = 3
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·(−2) − (−4)·1 = 6
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·3 − 0·(−2) = −12

正規化する

a × b の z 成分は負なので、−(a × b) を使います。

|a × b| = √(3² + 6² + (−12)²) = 13.75
n̂ = −(3, 6, −12)/13.75 = (−0.2182, −0.4364, 0.8729)
n̂y = −0.4364

答え

n̂y = −0.4364
3.はりの支点反力

答え: RA = 27.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 20 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1 m0.5 m2.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4 = 20·1 + 20·1.5
RB = 50/4 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 12.5 = 27.5 kN

答え

RA = 27.5 kN
4.はりの支点反力

答え: RA = 21.2 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 6 kN/mP = 50 kNABRA​RB​6 m2 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN、作用点 x̄ = 9 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·6 + 6·2·9
RB = 408/10 = 40.8 kN
ΣFy = 0: RA = 62 − 40.8 = 21.2 kN

答え

RA = 21.2 kN
5.トラス：節点法

答え: FBC = −10 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 30·1 → Cy = 6 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 6 = 24 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6/0.6 = −10 kN

答え

FBC = −10 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: 部材 BF

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 B

AB と BC は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、BF だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 81.25 kN (T), BC: 81.25 kN (T), CD: 78.75 kN (T), DE: 78.75 kN (T), FG: 92.5 kN (C), GH: 92.5 kN (C), AF: 58.34 kN (C), HE: 111.4 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 15.91 kN (T), HC: 19.45 kN (T)

答え

ゼロ部材: BF
7.ラーメンと機械

答え: C = 14.14 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

脚 BC から求めるつなぎ材の力

By = 10 kN
T = 10·2.5/2.5 = 10 kN

BC に作用するピン力の成分

Cx = T = 10 kN, Cy = −By = −10 kN

大きさ

C = √(10² + 10²) = 14.14 kN

答え

C = 14.14 kN
8.ラーメンと機械

答え: F = 1214 N

機械：ペンチ、てこ、リンク機構、クランプは、入力の力をより大きな、または向きの異なる出力の力に変えます。1 つの部品を自由物体として描き、その支点まわりのモーメントをとります：ピン力は消え、Fin·a = Fout·b から機械的利益 a/b が得られます。ピン力は、同じ部品の ΣF = 0 から求まります。トグルでは、2 本のリンクが浅い角度 θ で出会います。各リンクは二力部材なので、接合部の小さな力 F が、大きなリンク力 F/(2 sin θ) と締め付け力 F/(2 tan θ) を生みます。

リンクの角度

sin θ = 30/80 = 0.375, θ = 22.02°

リンクの力

Flink = Q/cos θ = 1618 N

B の力

F = 2·Flink·sin θ = 2·1500·tan θ = 1214 N

答え

F = 1214 N
9.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 50.83 kN, R2 = 24.17 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 101.7, MC = 123.3, MD = 145 kN·m, ME = 96.67, MF = 48.33, MG = 0

答え

点 D: MD = 145 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 55.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·3 + 12·4·2
RB = 246/4 = 61.5 kN
ΣFy = 0: RA = 98 − 61.5 = 36.5 kN
w = 12 kN/mP = 50 kNABRA​ = 36.5RB​ = 61.5断面3 m1 m

x = 3 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 36.5·3 − 12·3·1.5 = 55.5 kN·m

答え

Mx = 55.5 kN·m
11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 176 × 10⁶ mm⁴

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 280 − 2·24 = 232 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·280³ − 200·232³)/12
Ix = 1.76 × 10⁸ mm⁴ = 176 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 176 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: σ下端 = 159.1 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 100·15 = 1500 mm², yf = 240 + 15/2 = 247.5 mm
ウェブ: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1500·247.5 + 2400·120)/3900 = 169 mm

平行軸の定理

フランジ: 100·15³/12 + 1500·(247.5 − 169)² = 9.262 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 10·240³/12 + 2400·(120 − 169)² = 1.729 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.262 × 10⁶ + 1.729 × 10⁷ = 2.655 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 169 mm
σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·169/2.655 × 10⁷ = 159.1 MPa

答え

σ下端 = 159.1 MPa

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