静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ
|a| = √(ax² + ay² + az²)
単位ベクトル
û = a/|a|
角度から成分を求める
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
内積
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影
a·b/|b|
仕事
W = F·d
外積
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面積
平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント
MO = r × F, r = A − O
平行六面体の体積
V = |a·(b × c)|

解き方

  1. すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
  2. 長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
  3. 角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力部材
2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力
結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ
F = √(Fx² + Fy²)
てこ、ペンチ、ベルクランク
Fin·a = Fout·b
トグル
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

  1. 構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
  2. 二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
  3. ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
  4. 各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう
xyzab

a = (6, 0, 4) と b = (−1, −5, −3) の内積 a·b を求めよ。

a = (6, 0, 4)b = (−1, −5, −3)
a·b =
2.ベクトル：内積と外積むずかしい
xyzabc

1 つの頂点から出る辺が a = (4, 3, −4)、b = (−4, −5, 2)、c = (−5, 0, −3) である平行六面体の体積 V を求めよ。

a = (4, 3, −4)b = (−4, −5, 2)c = (−5, 0, −3)
V =
3.はりの支点反力ふつう
P1​ = 45 kNP2​ = 75 kNABCRB​ = ?1 m4 m3 m

はりは A でピン支点、A から 5 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

AB = 5 mAC = 8 mP1 = 45 kN 位置 1 mP2 = 75 kN 位置 8 m
RB = kN
4.はりの支点反力むずかしい
w = 2 kN/mP = 45 kNABRA​RB​ = ?1 m3 m1 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 6 mP = 45 kN 位置 1 mw = 2 kN/m（4 から 5 m まで）
RB = kN
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB50 kN6 m1 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 50 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB35 kN10 kN4 m3 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 35 kN水平荷重 = 10 kN →
FBC = kN
7.ラーメンと機械ふつう
100 NQ = ?25°ABC

図のトグルクランプでは、等しい 2 本のリンク AB と BC が B でピン接合され、それぞれ線 AC と 25° の角をなします。B に下向きの力 100 N が加わります。スライダ C は工作物を押します。摩擦と重さを無視して、水平な締め付け力 Q を求めなさい。

F = 100 Nθ = 25°
Q = N
8.ラーメンと機械むずかしい
F = ?5000 N12 mmABC

トグルプレスに、ピン間の長さがそれぞれ 120 mm の等しい 2 本のリンク AB と BC があります。接合部 B は線 AC の 12 mm 上にあります。スライダ C で水平方向の押し付け力 5000 N を生じるには、B にどれだけの下向きの力 F が必要ですか。摩擦と重さは無視します。

Q = 5000 NAB = BC = 120 mmh = 12 mm
F = N
9.せん断力と曲げモーメントふつう
5 kN/m60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

60 kN @ 6 m5 kN/m, 2–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
5 kN/m15 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

15 kN @ 12 m40 kN @ 6 m5 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.図心と断面二次モーメントふつう
2801018010x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
120290243102016x寸法の単位：mm

溶接 I 形断面は、上フランジ 120 × 24 mm、高さ 310 mm・厚さ 16 mm のウェブ、下フランジ 290 × 20 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

上フランジ: 120 × 24 mmウェブ: 16 × 310 mm下フランジ: 290 × 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: a·b = −18

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

対応する成分を掛けて足す

a·b = 6·(−1) + 0·(−5) + 4·(−3) = (−6) + 0 + (−12) = −18

答え

a·b = −18

負：2 つのベクトルのなす角は 90° より大きい。

2.ベクトル：内積と外積

答え: V = 94

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

外積 b × c

(b × c)x = bycz − bzcy = (−5)·(−3) − 2·0 = 15
(b × c)y = bzcx − bxcz = 2·(−5) − (−4)·(−3) = −22
(b × c)z = bxcy − bycx = (−4)·0 − (−5)·(−5) = −25

a との内積

a·(b × c) = 4·15 + 3·(−22) + (−4)·(−25) = 94
V = |94| = 94

答え

V = 94
3.はりの支点反力

答え: RB = 129 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·5 = 45·1 + 75·8
RB = 645/5 = 129 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 45 + 75 − 129 = −9 kN

答え

RB = 129 kN

RA は負です：A のピンははりを下に押さえつけなければなりません。

4.はりの支点反力

答え: RB = 9 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 2 kN/mP = 45 kNABRA​RB​1 m3 m1 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN、作用点 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1 + 2·1·4.5
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 47 − 9 = 38 kN

答え

RB = 9 kN
5.トラス：節点法

答え: FBC = −16.2 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·1 → Cy = 8.333 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 8.333 = 41.67 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8.333/0.5145 = −16.2 kN

答え

FBC = −16.2 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FBC = −35.58 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB35 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 + 10·3 → Cy = 33.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 33.75 = 1.25 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33.75/0.9487 = −35.58 kN

答え

FBC = −35.58 kN (圧縮)
7.ラーメンと機械

答え: Q = 107.2 N

機械：ペンチ、てこ、リンク機構、クランプは、入力の力をより大きな、または向きの異なる出力の力に変えます。1 つの部品を自由物体として描き、その支点まわりのモーメントをとります：ピン力は消え、Fin·a = Fout·b から機械的利益 a/b が得られます。ピン力は、同じ部品の ΣF = 0 から求まります。トグルでは、2 本のリンクが浅い角度 θ で出会います。各リンクは二力部材なので、接合部の小さな力 F が、大きなリンク力 F/(2 sin θ) と締め付け力 F/(2 tan θ) を生みます。

ピン B のつり合い

2·Flink·sin 25° = 100
Flink = 118.3 N

締め付け力

Q = Flink·cos 25° = 100/(2·tan 25°) = 107.2 N

答え

Q = 107.2 N

力の比 Q/F = 1.072 は、リンクがまっすぐになるにつれて限りなく大きくなります。

8.ラーメンと機械

答え: F = 1005 N

機械：ペンチ、てこ、リンク機構、クランプは、入力の力をより大きな、または向きの異なる出力の力に変えます。1 つの部品を自由物体として描き、その支点まわりのモーメントをとります：ピン力は消え、Fin·a = Fout·b から機械的利益 a/b が得られます。ピン力は、同じ部品の ΣF = 0 から求まります。トグルでは、2 本のリンクが浅い角度 θ で出会います。各リンクは二力部材なので、接合部の小さな力 F が、大きなリンク力 F/(2 sin θ) と締め付け力 F/(2 tan θ) を生みます。

リンクの角度

sin θ = 12/120 = 0.1, θ = 5.739°

リンクの力

Flink = Q/cos θ = 5025 N

B の力

F = 2·Flink·sin θ = 2·5000·tan θ = 1005 N

答え

F = 1005 N
9.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 50.83 kN, R2 = 59.17 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 101.7, MC = 193.3, MD = 265 kN·m, ME = 196.7, MF = 108.3, MG = 0

答え

点 D: MD = 265 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 22.5 kN, R2 = 72.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 35, MC = 50, MD = 45, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

答え

点 E: ME = −60 kN·m
11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 14.77 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 180 + 10/2 = 185 mm
ウェブ: Aw = 10·180 = 1800 mm², yw = 180/2 = 90 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·185 + 1800·90)/4600 = 147.8 mm

平行軸の定理

フランジ: 280·10³/12 + 2800·(185 − 147.8)² = 3.893 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 10·180³/12 + 1800·(90 − 147.8)² = 1.088 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.893 × 10⁶ + 1.088 × 10⁷ = 1.477 × 10⁷ mm⁴ = 14.77 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 14.77 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 261.7 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 2880 mm², y = 342 mm
ウェブ: A = 4960 mm², y = 175 mm
下フランジ: A = 5800 mm², y = 10 mm

図心

ȳ = (2880·342 + 4960·175 + 5800·10)/13640 = 140.1 mm

平行軸の定理

上フランジ: 120·24³/12 + 2880·201.9² = 1.175 × 10⁸ mm⁴
ウェブ: 16·310³/12 + 4960·34.9² = 4.576 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 290·20³/12 + 5800·130.1² = 9.836 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.175 × 10⁸ + 4.576 × 10⁷ + 9.836 × 10⁷
Ix = 2.617 × 10⁸ mm⁴ = 261.7 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 261.7 × 10⁶ mm⁴

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