静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力部材: 2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力: 結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ: F = √(F_x² + F_y²)
てこ、ペンチ、ベルクランク: F_in·a = F_out·b
トグル: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (6, −1, −1) の b = (5, 1, 1) 上へのスカラー射影 comp_b a、つまり a の b 方向の成分を求めよ。

a = (6, −1, −1)b = (5, 1, 1)

comp_b a =

2.ベクトル：内積と外積むずかしい

a = (−2, 3, 1)、b = (−2, −4, 2) のとき、外積 a × b の y 成分 (a × b)_y を求めよ。

a = (−2, 3, 1)b = (−2, −4, 2)

(a × b)_y =

3.はりの支点反力ふつう

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 0 から B で 4 kN/m まで直線的に増加する分布荷重が作用する。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 4 mw₀ = 4 kN/m

R_A = kN

4.はりの支点反力むずかしい

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 2.5 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 6 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 5.5 m の位置の集中荷重 P, 部分 CD 全体の等分布荷重 w および A から 2 m の位置の集中荷重 Q である。ローラーの反力 R_D を求めよ。

AC = 2.5 mAD = 6 mP = 55 kN 位置 5.5 mw = 4 kN/m（2.5 から 6 m まで）Q = 50 kN 位置 2 m

R_D = kN

5.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 15 kN

F_AB = kN

6.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

D: 40 kN ↓F: 25 kN ↓F: 40 kN →G: 35 kN ↓H: 35 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

7.ラーメンと機械ふつう

図のトグルクランプでは、等しい 2 本のリンク AB と BC が B でピン接合され、それぞれ線 AC と 15° の角をなします。B に下向きの力 200 N が加わります。スライダ C は工作物を押します。摩擦と重さを無視して、水平な締め付け力 Q を求めなさい。

F = 200 Nθ = 15°

Q = N

8.ラーメンと機械むずかしい

重さ 1 kN の一様な水平ブーム AB が A で壁にピン接合され、端 B から A の 4 m 上の壁の点 C へのケーブルで保持されています。B に 2 kN の荷重がつり下がっています。ケーブルの張力 T を求めなさい。

W = 2 kNW_b = 1 kNAB = 6 mAC = 4 m

T = kN

9.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

45 kN @ 3 m8 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.せん断力と曲げモーメントむずかしい

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 5 mw = 16 kN/m（2 から 4 m まで）

M_max = kN·m

11.図心と断面二次モーメントふつう

150 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 72 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mm穴の中心: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 50 kN·m を受ける。下端の曲げ応力 σ_下端を求めよ。

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mmM = 50 kN·m

σ_下端 = MPa

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: comp_b a = 5.389

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

内積

a·b = 6·5 + (−1)·1 + (−1)·1 = 28

b の長さ

|b| = √(5² + 1² + 1²) = 5.196

スカラー射影

comp_b a = a·b/|b| = 28/5.196 = 5.389

答え

comp_b a = 5.389

2.ベクトル：内積と外積

答え: (a × b)_y = 2

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

外積を成分ごとに計算する

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·2 − 1·(−4) = 10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−2) − (−2)·2 = 2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·(−4) − 3·(−2) = 14

求める成分

(a × b)_y = 2

答え

(a × b)_y = 2

検算：a × b は両方のベクトルに垂直なので、a および b との内積は 0 です。

3.はりの支点反力

答え: R_A = 2.667 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·4·4 = 8 kN

x̄ = 2L/3 = 2.667 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·2.667

R_B = 5.333 kN

R_A = 8 − 5.333 = 2.667 kN

答え

R_A = 2.667 kN

4.はりの支点反力

答え: R_D = 54.14 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

W = 4·3.5 = 14 kN 位置 1.75 m 起点 C

ΣM_C = 0: R_D·3.5 = 55·3 + 14·1.75

R_D = 54.14 kN

V_C = 69 − 54.14 = 14.86 kN

答え

R_D = 54.14 kN

5.トラス：節点法

答え: F_AB = −12.58 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·1 → C_y = 3.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3.75 = 11.25 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −11.25/0.8944 = −12.58 kN

答え

F_AB = −12.58 kN (圧縮)

6.トラス：節点法

答え: 部材 BF

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 B

AB と BC は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、BF だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 103.3 kN (T), BC: 103.3 kN (T), CD: 116.7 kN (T), DE: 116.7 kN (T), FG: 133.3 kN (C), GH: 133.3 kN (C), AF: 79.17 kN (C), HE: 145.8 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 37.5 kN (T), HC: 20.83 kN (T)

答え

ゼロ部材: BF

7.ラーメンと機械

答え: Q = 373.2 N

機械：ペンチ、てこ、リンク機構、クランプは、入力の力をより大きな、または向きの異なる出力の力に変えます。1 つの部品を自由物体として描き、その支点まわりのモーメントをとります：ピン力は消え、F_in·a = F_out·b から機械的利益 a/b が得られます。ピン力は、同じ部品の ΣF = 0 から求まります。トグルでは、2 本のリンクが浅い角度 θ で出会います。各リンクは二力部材なので、接合部の小さな力 F が、大きなリンク力 F/(2 sin θ) と締め付け力 F/(2 tan θ) を生みます。

ピン B のつり合い

2·F_link·sin 15° = 200

F_link = 386.4 N

締め付け力

Q = F_link·cos 15° = 200/(2·tan 15°) = 373.2 N

答え

Q = 373.2 N

力の比 Q/F = 1.866 は、リンクがまっすぐになるにつれて限りなく大きくなります。

8.ラーメンと機械

答え: T = 4.507 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

ケーブルの角度

BC = √(6² + 4²) = 7.211 m, sin β = 0.5547

A まわりのモーメント

T·0.5547·6 = 2·6 + 1·3

T = 4.507 kN

答え

T = 4.507 kN

9.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 45.83 kN, R₂ = 39.17 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 41.83, M_C = 75.67, M_D = 101.5 kN·m, M_E = 74.33, M_F = 39.17, M_G = 0

答え

点 D: M_D = 101.5 kN·m

10.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 30.72 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 16·2·3

R_B = 96/5 = 19.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 19.2 = 12.8 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は R_A から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 12.8/16 = 2.8 m

最大モーメント

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 12.8·2.8 − 16·0.8²/2 = 30.72 kN·m

答え

M_max = 30.72 kN·m

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 165.1 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (36000·120 − 2827·72)/(36000 − 2827) = 124.1 mm

ȳ まわりの全体の板

150·240³/12 + 36000·−4.091² = 173.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·−52.09² = 8.308 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 165.1 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 165.1 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_下端 = 263.1 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252.5 mm

ウェブ: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·252.5 + 2400·120)/6900 = 206.4 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·25³/12 + 4500·(252.5 − 206.4)² = 9.792 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 10·240³/12 + 2400·(120 − 206.4)² = 2.944 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9.792 × 10⁶ + 2.944 × 10⁷ = 3.923 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 206.4 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·206.4/3.923 × 10⁷ = 263.1 MPa

答え

σ_下端 = 263.1 MPa

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