静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力部材: 2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力: 結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ: F = √(F_x² + F_y²)
てこ、ペンチ、ベルクランク: F_in·a = F_out·b
トグル: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (−2, 4, −2) の b = (−1, −1, 5) 上へのスカラー射影 comp_b a、つまり a の b 方向の成分を求めよ。

a = (−2, 4, −2)b = (−1, −1, 5)

comp_b a =

2.ベクトル：内積と外積むずかしい

頂点 A(−4, 2, −3)、B(2, 0, 4)、C(2, 0, −1) をもつ三角形の面積 A を求めよ。座標の単位はメートルである。

A(−4, 2, −3)B(2, 0, 4)C(2, 0, −1)

A = m²

3.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 2 m の位置に集中荷重 P が、A から 6 m の位置に反時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 R_A を求めよ。

L = 8 mP = 50 kN 位置 2 mM = 20 kN·m (反時計回り) 位置 6 m

R_A = kN

4.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 10 mP = 35 kN 位置 7 mw = 3 kN/m（4 から 6 m まで）

R_B = kN

5.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 30 kN

F_AB = kN

6.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 20 kN ↓C: 10 kN ↓F: 30 kN ↓G: 15 kN ↓H: 20 kN ←

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

7.ラーメンと機械ふつう

図のベルクランクはピン O のまわりに回ります。A（O から 150 mm）での鉛直の力 150 N が、B（O の 60 mm 上）での水平な力とつり合っています。ピン反力の大きさ F_O を求めなさい。

F = 150 NOA = 150 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.ラーメンと機械むずかしい

図の A 形フレームは、4.8 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 4.5 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 2 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）1.8 m の点 K に、鉛直荷重 6 kN が作用します。ピン C が脚 BC に及ぼす力の大きさ C を求めなさい。

P = 6 kNAB = 4.8 mC の高さ = 4.5 mDE の高さ = 2 mA から K までの水平距離 = 1.8 m

C = kN

9.せん断力と曲げモーメントふつう

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 8 mP₁ = 35 kN 位置 2 mP₂ = 45 kN 位置 4 m

M_max = kN·m

10.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 A から支点間の反曲点（曲げモーメントの符号が変わる点）までの距離 x_c を求めよ。

L = 10 mw = 6 kN/m（0 から 10 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m

x_c = m

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

200 mm × 200 mm の板に、幅 50 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 130 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 200 mmh = 200 mm切り欠き: 50 × 30 mm穴の中心: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: comp_b a = −2.309

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

内積

a·b = (−2)·(−1) + 4·(−1) + (−2)·5 = −12

b の長さ

|b| = √((−1)² + (−1)² + 5²) = 5.196

スカラー射影

comp_b a = a·b/|b| = −12/5.196 = −2.309

答え

comp_b a = −2.309

負：a には b と逆向きの成分があります。

2.ベクトル：内積と外積

答え: A = 15.81 m²

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

辺ベクトル

AB = B − A = (6, −2, 7)

AC = C − A = (6, −2, 2)

外積

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−2)·2 − 7·(−2) = 10

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 7·6 − 6·2 = 30

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 6·(−2) − (−2)·6 = 0

|AB × AC| = √(10² + 30² + 0²) = 31.62

三角形の面積

A = ½·31.62 = 15.81 m²

答え

A = 15.81 m²

3.はりの支点反力

答え: R_A = 40 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·8 − 50·2 + 20 = 0

R_B = 80/8 = 10 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 50 − 10 = 40 kN

答え

R_A = 40 kN

負の反力は下向きに作用します。

4.はりの支点反力

答え: R_B = 27.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·7 + 3·2·5

R_B = 275/10 = 27.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 41 − 27.5 = 13.5 kN

答え

R_B = 27.5 kN

5.トラス：節点法

答え: F_AB = −26.35 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 5 = 25 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/3.162 = 0.9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −25/0.9487 = −26.35 kN

答え

F_AB = −26.35 kN (圧縮)

6.トラス：節点法

答え: 部材 DH

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 D

CD と DE は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、DH だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 35 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 77.78 kN (C), HE: 28.28 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 7.071 kN (T), HC: 28.28 kN (T)

答え

ゼロ部材: DH

7.ラーメンと機械

答え: F_O = 403.9 N

機械：ペンチ、てこ、リンク機構、クランプは、入力の力をより大きな、または向きの異なる出力の力に変えます。1 つの部品を自由物体として描き、その支点まわりのモーメントをとります：ピン力は消え、F_in·a = F_out·b から機械的利益 a/b が得られます。ピン力は、同じ部品の ΣF = 0 から求まります。トグルでは、2 本のリンクが浅い角度 θ で出会います。各リンクは二力部材なので、接合部の小さな力 F が、大きなリンク力 F/(2 sin θ) と締め付け力 F/(2 tan θ) を生みます。

B の力

Q = 150·150/60 = 375 N

ピン反力

O_x = 375 N, O_y = 150 N

F_O = √(375² + 150²) = 403.9 N

答え

F_O = 403.9 N

8.ラーメンと機械

答え: C = 3.119 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

B の支点反力

B_y = 6·1.8/4.8 = 2.25 kN

つなぎ材の力

T = 2.25·2.4/2.5 = 2.16 kN

BC に作用するピン力

C_x = 2.16 kN, C_y = −2.25 kN

C = √(2.16² + 2.25²) = 3.119 kN

答え

C = 3.119 kN

9.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 125 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·2 + 45·4

R_B = 250/8 = 31.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 31.25 = 48.75 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P₁: M = R_A·2 = 48.75·2 = 97.5 kN·m

荷重点 P₂: M = R_B·4 = 31.25·4 = 125 kN·m

最大値

M_max = 125 kN·m (荷重点 P₂)

答え

M_max = 125 kN·m

10.せん断力と曲げモーメント

答え: x_c = 7.5 m

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·10·5

R_B = 300/8 = 37.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 37.5 = 22.5 kN

モーメント 0 の位置

支点間では M(x) = R_A·x − w·x²/2。x = 0 を除くと、x = 2R_A/w で 0 になります。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·22.5/6 = 7.5 m

答え

x_c = 7.5 m

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 25.16 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

ウェブ: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·225 + 3080·110)/4480 = 145.9 mm

平行軸の定理

フランジ: 140·10³/12 + 1400·(225 − 145.9)² = 8.763 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 14·220³/12 + 3080·(110 − 145.9)² = 1.64 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.763 × 10⁶ + 1.64 × 10⁷ = 2.516 × 10⁷ mm⁴ = 25.16 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 25.16 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 131.8 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (40000·100 − 1500·130)/(40000 − 1500) = 98.83 mm

ȳ まわりの全体の板

200·200³/12 + 40000·1.169² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

50·30³/12 + 1500·31.17² = 1.57 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 131.8 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 131.8 × 10⁶ mm⁴

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