記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：60, 28, 44, 43, 24, 52。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 100、標準偏差 8 の正規分布に従います。93.6 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 100σ = 8x = 93.6
z =
3.確率ふつう
袋に赤玉 6 個と青玉 6 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
6 / 6
P =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 5 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.2 で正解します。ちょうど 1 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 5p = 0.2k = 1
P =
5.正規分布ふつう
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。26 から 35.3 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 32σ = 6x1 = 26x2 = 35.3
P =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.04 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.信頼区間ふつう
6 個からなる標本の平均は 57、標準偏差は s = 17.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 6x̄ = 57s = 17.595%t(5) = 2.571
E =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 11 本の軸の直径の標本標準偏差は 6.8 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 10 のとき、χ² 分布の 2.5% は 3.247 より下に、2.5% は 20.483 より上にあります。
n = 11s = 6.8 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 16 人の標本の平均点は 502.6、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 500x̄ = 502.6s = 15n = 16
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 500 対 H₁: μ > 500 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 36 で行います。標準偏差は 12 であることがわかっています。実際の平均は 506 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 500μ = 506σ = 12n = 36α = 0.01
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (4, 36) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(4, 36)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 13.78
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 251/6 = 41.83
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 18.17² + (−13.83)² + 2.167² + 1.167² + (−17.83)² + 10.17² = 948.8
標準偏差
s = √(948.8/5) = 13.78
答え
s = 13.78
2.記述統計
答え: z = −0.8
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (93.6 − 100)/8 = −0.8
答え
z = −0.8
3.確率
答え: P = 0.2273
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0.2273
答え
P = 0.2273
4.確率
答え: P = 0.4096
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 1) = 5·0.21·0.84 = 5·0.2·0.4096 = 0.4096
答え
P = 0.4096
5.正規分布
答え: P = 0.5502
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (26 − 32)/6 = −1
z₂ = (35.3 − 32)/6 = 0.55
間の面積
P = Φ(0.55) − Φ(−1) = 0.7088 − 0.1587 = 0.5502
答え
P = 0.5502
6.正規分布
答え: P = 0.9868
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm
標準化する
z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22
確率
P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868
答え
P = 0.9868
7.信頼区間
答え: E = 18.37
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 5, t = 2.571
誤差の幅
E = 2.571·17.5/√6 = 18.37
答え
E = 18.37
8.信頼区間
答え: σ = 11.93 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 10·6.8² = 462.4
σ² の限界
462.4/20.483 = 22.57
462.4/3.247 = 142.4
σ の限界
σ = √142.4 = 11.93 µm
答え
σ = 11.93 µm
σ の 95% 区間：[4.751, 11.93] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 0.6933
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75
検定統計量
t = (502.6 − 500)/3.75 = 0.6933
答え
t = 0.6933
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 74.98 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 12/√36 = 2
x̄c = 500 + 2.326·2 = 504.7
真の平均のもとでの z
z = (504.7 − 506)/2 = −0.674
電力
検出力 = P(Z > −0.674) = 74.98%
1 − β = 74.98%
答え
1 − β = 74.98%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9381
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 278/5 = 55.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57
Syy = Σ(y − ȳ)² = 369.2
相関係数
r = 57/√(10·369.2) = 0.9381
答え
r = 0.9381
12.線形回帰と相関
答え: e = 2.119
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 235/6 = 39.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 185
回帰直線
b = 185/70 = 2.643
a = 39.17 − 2.643·6 = 23.31
ŷ = 23.31 + 2.643·x
予測値
ŷ = 23.31 + 2.643·4 = 33.88
残差
e = 36 − 33.88 = 2.119
答え
e = 2.119
点は直線より上にあります。
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