統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：40, 20, 10, 23, 29, 38, 11。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 170、標準偏差 5 の正規分布に従います。162.5 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 170σ = 5x = 162.5

z =

3.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.35, 0.2, 0.1

Var(X) =

4.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 2X − 3 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.25, 0.15, 0.3Y = 2X − 3

σ_Y =

5.正規分布ふつう

X は平均 120 mm、標準偏差 0.3 mm の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 80 mm、標準偏差 0.4 mm の正規分布に従います。X + Y が 199.8 mm を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.8 mm

P =

6.正規分布むずかしい

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。全体の 20% がそれより下にある値 x（第 20 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

7.信頼区間ふつう

13 個からなる標本の平均は 60、標準偏差は s = 9 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 13x̄ = 60s = 995%t(12) = 2.179

上限 =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 12 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 12E = 295%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 100 人の標本の平均点は 50.28、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 50.28s = 4n = 100

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

ある臨床試験で、治療 A の患者 150 人中 23 人、治療 B の患者 300 人中 24 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。

x₁ = 23n₁ = 150x₂ = 24n₂ = 300

z =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 6 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 114Σy = 549Σx² = 2236Σy² = 51921Σxy = 10768

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 67 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 67

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 11.96

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 171/7 = 24.43

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 15.57² + (−4.429)² + (−14.43)² + (−1.429)² + 4.571² + 13.57² + (−13.43)² = 857.7

標準偏差

s = √(857.7/6) = 11.96

答え

s = 11.96

2.記述統計

答え: z = −1.5

標準化する

z = (162.5 − 170)/5 = −1.5

答え

z = −1.5

3.確率

答え: Var(X) = 3.79

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.35 + 2·0.35 + 4·0.2 + 6·0.1 = 2.1

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.35 + 16·0.2 + 36·0.1 = 8.2

分散

Var(X) = 8.2 − 2.1² = 3.79

答え

Var(X) = 3.79

4.確率

答え: σ_Y = 2.406

X のばらつき

μ = 2.45, Var(X) = 1.447, σ_X = 1.203

一次変換

σ_Y = |2|·1.203 = 2.406

答え

σ_Y = 2.406

平均は変化します：E(Y) = 2·2.45 − 3 = 1.9。

5.正規分布

答え: P = 0.6554

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

標準化する

z = (199.8 − 200)/0.5 = −0.4

上側確率

P = 1 − Φ(−0.4) = 1 − 0.3446 = 0.6554

答え

P = 0.6554

6.正規分布

答え: x = 26.95 min

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

x に戻す

x = 32 + −0.8416·6 = 26.95 min

答え

x = 26.95 min

7.信頼区間

答え: 上限 = 65.44

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 12, t = 2.179

誤差の幅

E = 2.179·9/√13 = 5.439

区間

60 ± 5.439 → [54.56, 65.44]

答え

上限 = 65.44

8.信頼区間

答え: n = 139

n について解く

n = (1.96·12/2)² = 138.3

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 139

答え

n = 139

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 0.7

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 4/√100 = 4/10 = 0.4

検定統計量

t = (50.28 − 50)/0.4 = 0.7

答え

t = 0.7

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: z = 2.398

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

標本比率

p̂₁ = 23/150 = 0.1533

p̂₂ = 24/300 = 0.08

p̂ = 47/450 = 0.1044

H₀ のもとでの標準誤差

SE = √(0.1044·0.8956·(1/150 + 1/300)) = 0.03058

検定統計量

z = (0.1533 − 0.08)/0.03058 = 2.398

答え

z = 2.398

|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9805

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 10768 − 114·549/6 = 337

S_xx = 2236 − 114²/6 = 70

S_yy = 51921 − 549²/6 = 1688

相関係数

r = 337/√(70·1688) = 0.9805

答え

r = 0.9805

12.線形回帰と相関

答え: x = 7.573

平均

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 359/6 = 59.83

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60.5

回帰直線

b = 60.5/17.5 = 3.457

a = 59.83 − 3.457·5.5 = 40.82

ŷ = 40.82 + 3.457·x

x について解く

x = (67 − 40.82)/3.457 = 7.573

答え

x = 7.573

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