統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：36, 50, 15, 58, 54, 41, 31。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 8 の正規分布に従います。180 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 8x = 180

P =

3.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.3, 0.2, 0.25

σ =

4.確率むずかしい

ゲームの参加費は €5 です。確率 0.2 で €20、確率 0.05 で €50 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €5€20: p = 0.2€50: p = 0.05

E(G) = €

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.7017 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.7017

z =

6.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。色つきの下位 60% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 100 点σ = 15 点60%

x = 点

7.信頼区間ふつう

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：100 台、平均 59.5 h、既知の標準偏差 3 h。機種 2：40 台、平均 69 h、既知の標準偏差 10 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n₁ = 100x̄₁ = 59.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 40x̄₂ = 69 hσ₂ = 10 h90%

E = h

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 9 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 9E = 0.599%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 25 人の標本の平均点は 196.5、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 200x̄ = 196.5s = 8n = 25

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

H₀: μ = 500 対 H₁: μ < 500 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 64 で行います。標準偏差は 8 であることがわかっています。実際の平均は 498.2 です。検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。

μ₀ = 500μ = 498.2σ = 8n = 64α = 0.10

1 − β = %

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 89 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 89

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 14.94

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 285/7 = 40.71

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−4.714)² + 9.286² + (−25.71)² + 17.29² + 13.29² + 0.2857² + (−9.714)² = 1339

標準偏差

s = √(1339/6) = 14.94

答え

s = 14.94

2.記述統計

答え: P = 0.1056

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答え

P = 0.1056

3.確率

答え: σ = 1.117

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.25 + 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.25 = 1.45

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.25 + 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.25 = 3.35

分散

Var(X) = 3.35 − 1.45² = 1.248

σ = √1.248 = 1.117

答え

σ = 1.117

4.確率

答え: E(G) = 1.5 €

純利得の結果

G: 15 (p = 0.2), 45 (p = 0.05), −5 (p = 0.75)

期待値

E(G) = 15·0.2 + 45·0.05 − 5·0.75 = 1.5 €

答え

E(G) = 1.5 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

5.正規分布

答え: z = 1.04

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.7017)/2 = 0.8508

z 表を逆に読む

表の中で 0.8508 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.04

答え

z = 1.04

6.正規分布

答え: x = 103.8 点

左側の面積

Φ(z) = 0.6

表からの z

z ≈ 0.25

元の単位に戻す

x = 100 + 0.25·15 = 103.8 点

答え

x = 103.8 点

7.信頼区間

答え: E = 2.647 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 59.5 − 69 = −9.5

標準誤差

SE = √(3²/100 + 10²/40) = 1.609

誤差の幅

E = 1.645·1.609 = 2.647

答え

E = 2.647 h

区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。

8.信頼区間

答え: n = 2150

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·9/0.5)² = 2150

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 2150

答え

n = 2150

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −2.188

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

検定統計量

t = (196.5 − 200)/1.6 = −2.188

答え

t = −2.188

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: 1 − β = 69.78 %

検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

臨界標本平均

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 500 − 1.282·1 = 498.7

真の平均のもとでの z

z = (498.7 − 498.2)/1 = 0.518

電力

検出力 = P(Z < 0.518) = 69.78%

1 − β = 69.78%

答え

1 − β = 69.78%

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9861

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 103/5 = 20.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 421.2

相関係数

r = 128/√(40·421.2) = 0.9861

答え

r = 0.9861

12.線形回帰と相関

答え: x = 5.929

平均

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 613/6 = 102.2

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 445

回帰直線

b = 445/70 = 6.357

a = 102.2 − 6.357·8 = 51.31

ŷ = 51.31 + 6.357·x

x について解く

x = (89 − 51.31)/6.357 = 5.929

答え

x = 5.929

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