統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
2025303540

データの標本標準偏差 s を求めなさい：29, 36, 43, 39, 17, 28。

n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 500、標準偏差 25 の正規分布に従います。450 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 500σ = 25x = 450
z =
3.確率ふつう
赤: 7青: 7

袋に赤玉 7 個と青玉 7 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

7 / 7
P =
4.確率むずかしい
xp(x)00.3520.2540.260.2μ

X は示された分布をもち、Y = −2X + 4 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.25, 0.2, 0.2Y = −2X + 4
σY =
5.正規分布ふつう
32 min34.5 minX + Y?

X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 34.5 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 34.5 min
P =
6.正規分布むずかしい
4 s0X − Y?

走者 A の周回タイム X と走者 B の周回タイム Y は独立な正規変数です：X は平均 52 s、標準偏差 4 s、Y は平均 48 s、標準偏差 3 s です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.信頼区間ふつう
n = 7, s = 18LU = ?x̄ = 84.5E90%

7 個からなる標本の平均は 84.5、標準偏差は s = 18 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 7x̄ = 84.5s = 1890%t(6) = 1.943
上限 =
8.信頼区間むずかしい
σ = 27, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.590%

母標準偏差は 27 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 27E = 0.590%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
t −2.06402.064

学生 25 人の標本の平均点は 68.8、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 68.8s = 10n = 25
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2α = 0.05βσ = 18, 検出力 90%, n = ?

α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 2 単位のずれを検出力 90% で検出しなければなりません。標準偏差は 18 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.05検出力 = 90%δ = 2σ = 18zα = 1.645zβ = 1.282
n =
11.線形回帰と相関ふつう
xy25146268289210102xy5106080100

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5Σx = 30Σy = 389Σx² = 220Σy² = 32037Σxy = 2598
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy2841962683410411248xy5102040ŷ = 30

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 30 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 30
x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 9.338

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 192/6 = 32

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−3)² + 4² + 11² + 7² + (−15)² + (−4)² = 436

標準偏差

s = √(436/5) = 9.338

答え

s = 9.338
2.記述統計

答え: z = −2

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (450 − 500)/25 = −2

答え

z = −2
3.確率

答え: P = 0.2308

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0.2308

答え

P = 0.2308
4.確率

答え: σY = 4.539

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 2.5, Var(X) = 5.15, σX = 2.269

一次変換

σY = |−2|·2.269 = 4.539

答え

σY = 4.539

平均は変化します：E(Y) = −2·2.5 + 4 = −1。

5.正規分布

答え: P = 0.1587

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

標準化する

z = (34.5 − 32)/2.5 = 1

上側確率

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

答え

P = 0.1587
6.正規分布

答え: P = 0.7881

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

標準化する

z = (0 − 4)/5 = −0.8

確率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答え

P = 0.7881
7.信頼区間

答え: 上限 = 97.72

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 6, t = 1.943

誤差の幅

E = 1.943·18/√7 = 13.22

区間

84.5 ± 13.22 → [71.28, 97.72]

答え

上限 = 97.72
8.信頼区間

答え: n = 7891

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.645·27/0.5)² = 7891

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 7891

答え

n = 7891
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −3.1

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

検定統計量

t = (68.8 − 75)/2 = −3.1

答え

t = −3.1
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| > 2.064 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 694

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((1.645 + 1.282)·18/2)² = 694

切り上げる

n = 694

答え

n = 694
11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9914

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

Sxy = 2598 − 30·389/5 = 264
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 32037 − 389²/5 = 1773

相関係数

r = 264/√(40·1773) = 0.9914

答え

r = 0.9914
12.線形回帰と相関

答え: x = 7.17

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 176/6 = 29.33

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274

回帰直線

b = 274/70 = 3.914
a = 29.33 − 3.914·7 = 1.933
ŷ = 1.933 + 3.914·x

x について解く

x = (30 − 1.933)/3.914 = 7.17

答え

x = 7.17

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