記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：46, 29, 30, 32, 10, 53, 25。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。210 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 170σ = 20x = 210
z =
3.確率ふつう
袋に赤玉 5 個と青玉 3 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
5 / 3
P =
4.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = 2X − 3 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.1, 0.3, 0.25Y = 2X − 3
σY =
5.正規分布ふつう
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。422 から 560 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 500σ = 40x1 = 422x2 = 560
P =
6.正規分布むずかしい
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。全体の 5% がそれより下にある値 x（第 5 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
7.信頼区間ふつう
10 個からなる標本の平均は 20.5、標準偏差は s = 11.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 10x̄ = 20.5s = 11.599%t(9) = 3.25
E =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 15 本の軸の直径の標本標準偏差は 10.8 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 14 のとき、χ² 分布の 2.5% は 5.629 より下に、2.5% は 26.119 より上にあります。
n = 15s = 10.8 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：40 個の部品の標本の平均長さは 73 mm で、ラインの既知の標準偏差は 10 mm です。ライン 2：80 個の部品の標本の平均は 71.8 mm、既知の標準偏差は 4 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。
n₁ = 40x̄₁ = 73 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 80x̄₂ = 71.8 mmσ₂ = 4 mm
z =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
100 回の測定の標本平均は 198.8 です。母標準偏差は 10 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 198.8σ = 10n = 10099%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 12 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 6ŷ = 12
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 14.04
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 225/7 = 32.14
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 13.86² + (−3.143)² + (−2.143)² + (−0.1429)² + (−22.14)² + 20.86² + (−7.143)² = 1183
標準偏差
s = √(1183/6) = 14.04
答え
s = 14.04
2.記述統計
答え: z = 2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (210 − 170)/20 = 2
答え
z = 2
3.確率
答え: P = 0.3571
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0.3571
答え
P = 0.3571
4.確率
答え: σY = 2.406
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 2.45, Var(X) = 1.447, σX = 1.203
一次変換
σY = |2|·1.203 = 2.406
答え
σY = 2.406
平均は変化します：E(Y) = 2·2.45 − 3 = 1.9。
5.正規分布
答え: P = 0.9076
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (422 − 500)/40 = −1.95
z₂ = (560 − 500)/40 = 1.5
間の面積
P = Φ(1.5) − Φ(−1.95) = 0.9332 − 0.02559 = 0.9076
答え
P = 0.9076
6.正規分布
答え: x = 434.2 h
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
x に戻す
x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h
答え
x = 434.2 h
7.信頼区間
答え: E = 11.82
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 9, t = 3.25
誤差の幅
E = 3.25·11.5/√10 = 11.82
答え
E = 11.82
8.信頼区間
答え: σ = 17.03 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 14·10.8² = 1633
σ² の限界
1633/26.119 = 62.52
1633/5.629 = 290.1
σ の限界
σ = √290.1 = 17.03 µm
答え
σ = 17.03 µm
σ の 95% 区間：[7.907, 17.03] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: z = 0.7303
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差の標準誤差
SE = √(10²/40 + 4²/80) = √2.7 = 1.643
検定統計量
z = (73 − 71.8)/1.643 = 0.7303
答え
z = 0.7303
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: U = 201.4
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 2.576·10/√100 = 2.576
区間の端
U = 198.8 + 2.576 = 201.4
答え
U = 201.4
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.8978
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 331/5 = 66.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
Syy = Σ(y − ȳ)² = 324.8
決定係数
r² = 54²/(10·324.8) = 0.8978
答え
r² = 0.8978
y の変動の約 89.78% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: x = 3.051
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 160/6 = 26.67
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 260
回帰直線
b = 260/70 = 3.714
a = 26.67 − 3.714·7 = 0.6667
ŷ = 0.6667 + 3.714·x
x について解く
x = (12 − 0.6667)/3.714 = 3.051
答え
x = 3.051
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