記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：33, 56, 21, 42, 39, 32。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 75 の正規分布に従います。650 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500σ = 75x = 650
z =
3.確率ふつう
袋に赤玉 7 個と青玉 7 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
7 / 7
P =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 9 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 5 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 9p = 0.5k = 5
P =
5.正規分布ふつう
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。167.85 から 179.4 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 178σ = 7x1 = 167.85x2 = 179.4
P =
6.正規分布むずかしい
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。全体の 10% がそれより下にある値 x（第 10 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 32σ = 6P = 10%
x = min
7.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 100 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 3 です。 同じ研究で代わりに 400 個の観測値を使うと、誤差の幅 E₂ はいくらになりますか？
90%n₁ = 100E₁ = 3n₂ = 400
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 26 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 26E = 390%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
ある母集団の平均は 500 であると主張されています。母標準偏差は 30 であることがわかっています。100 個の観測値からなる無作為標本の平均は 496.52 です。H₀: μ = 500 対 H₁: μ < 500 を検定します。p 値 p を求めなさい。
μ₀ = 500σ = 30n = 100x̄ = 496.52H₁: μ < μ₀
p =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 5 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 5E = 290%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 36Σy = 344Σx² = 286Σy² = 22304Σxy = 2488
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 3.5 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 5x = 3.5
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 11.72
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 223/6 = 37.17
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−4.167)² + 18.83² + (−16.17)² + 4.833² + 1.833² + (−5.167)² = 686.8
標準偏差
s = √(686.8/5) = 11.72
答え
s = 11.72
2.記述統計
答え: z = 2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (650 − 500)/75 = 2
答え
z = 2
3.確率
答え: P = 0.2308
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0.2308
答え
P = 0.2308
4.確率
答え: P = 0.2461
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 5) = 126·0.55·0.54 = 126·0.03125·0.0625 = 0.2461
答え
P = 0.2461
5.正規分布
答え: P = 0.5057
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (167.85 − 178)/7 = −1.45
z₂ = (179.4 − 178)/7 = 0.2
間の面積
P = Φ(0.2) − Φ(−1.45) = 0.5793 − 0.07353 = 0.5057
答え
P = 0.5057
6.正規分布
答え: x = 24.31 min
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
x に戻す
x = 32 + −1.282·6 = 24.31 min
答え
x = 24.31 min
7.信頼区間
答え: E₂ = 1.5
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(100/400) = 0.5
新しい誤差の幅
E₂ = 3·0.5 = 1.5
答え
E₂ = 1.5
8.信頼区間
答え: n = 204
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·26/3)² = 203.3
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 204
答え
n = 204
9.仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.123
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
検定統計量
SE = σ/√n = 30/√100 = 3
z = (496.52 − 500)/3 = −1.16
裾の面積
Φ(1.16) = 0.8770
1 − Φ(1.16) = 0.1230
p 値
p = 0.123
答え
p = 0.123
p > 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 17
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (1.645·5/2)² = 16.91
切り上げる
n = 17
答え
n = 17
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9975
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 2488 − 36·344/6 = 424
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 22304 − 344²/6 = 2581
相関係数
r = 424/√(70·2581) = 0.9975
答え
r = 0.9975
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 55.5
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 312/5 = 62.4
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46
回帰直線
b = 46/10 = 4.6
a = 62.4 − 4.6·5 = 39.4
ŷ = 39.4 + 4.6·x
予測
ŷ = 39.4 + 4.6·3.5 = 55.5
答え
ŷ = 55.5
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