記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：52, 25, 53, 10, 29, 15, 42。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 20 の正規分布に従います。80 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60σ = 20x = 80
P =
3.確率ふつう
公正なさいころを 8 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 8
P =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 8 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 4 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 8p = 0.5k = 4
P =
5.正規分布ふつう
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。172.4 から 192.35 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 178σ = 7x1 = 172.4x2 = 192.35
P =
6.正規分布むずかしい
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。全体の 99% がそれより下にある値 x（第 99 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 32σ = 6P = 99%
x = min
7.信頼区間ふつう
6 個からなる標本の平均は 109.5、標準偏差は s = 14 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 6x̄ = 109.5s = 1490%t(5) = 2.015
E =
8.信頼区間むずかしい
予備調査によると、製品の約 0.7 が不良品です。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.04 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p ≈ 0.7E = 0.0490%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
13 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 7.28、差の標準偏差は 10.5 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
n = 13d̄ = 7.28sd = 10.5
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
49 回の測定の標本平均は 119.7 です。母標準偏差は 4 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 119.7σ = 4n = 4999%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 6
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 3.5 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 5x = 3.5
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 17.18
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 226/7 = 32.29
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 19.71² + (−7.286)² + 20.71² + (−22.29)² + (−3.286)² + (−17.29)² + 9.714² = 1771
標準偏差
s = √(1771/6) = 17.18
答え
s = 17.18
2.記述統計
答え: P = 0.8413
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 1
標準正規分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
答え
P = 0.8413
3.確率
答え: P = 0.7674
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)8 = 0.2326
P = 1 − 0.2326 = 0.7674
答え
P = 0.7674
4.確率
答え: P = 0.2734
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 4) = 70·0.54·0.54 = 70·0.0625·0.0625 = 0.2734
答え
P = 0.2734
5.正規分布
答え: P = 0.768
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (172.4 − 178)/7 = −0.8
z₂ = (192.35 − 178)/7 = 2.05
間の面積
P = Φ(2.05) − Φ(−0.8) = 0.9798 − 0.2119 = 0.768
答え
P = 0.768
6.正規分布
答え: x = 45.96 min
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
x に戻す
x = 32 + 2.326·6 = 45.96 min
答え
x = 45.96 min
7.信頼区間
答え: E = 11.52
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 5, t = 2.015
誤差の幅
E = 2.015·14/√6 = 11.52
答え
E = 11.52
8.信頼区間
答え: n = 356
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.645²·0.7·0.3/0.04² = 355.2
切り上げる
n = 356
答え
n = 356
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.5
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
差の平均の標準誤差
SE = 10.5/√13 = 2.912
検定統計量
t = 7.28/2.912 = 2.5
答え
t = 2.5
df = 12 のとき、両側 5% の臨界値は 2.179 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: U = 121.2
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 2.576·4/√49 = 1.472
区間の端
U = 119.7 + 1.472 = 121.2
答え
U = 121.2
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.8323
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 399/6 = 66.5
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 161.5
決定係数
r² = 48.5²/(17.5·161.5) = 0.8323
答え
r² = 0.8323
y の変動の約 83.23% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 56.85
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 268/5 = 53.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65
回帰直線
b = 65/10 = 6.5
a = 53.6 − 6.5·3 = 34.1
ŷ = 34.1 + 6.5·x
予測
ŷ = 34.1 + 6.5·3.5 = 56.85
答え
ŷ = 56.85
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