統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：20, 30, 47, 38, 60, 20。

n = 6

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 70、標準偏差 15 の正規分布に従います。92.5 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 70σ = 15x = 92.5

z =

3.確率ふつう

袋に赤玉 7 個と青玉 3 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

7 / 3

P =

4.確率むずかしい

部品を 9 個試験し、各部品は独立に確率 0.1 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 9p = 0.1

P =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.8324 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.8324

z =

6.正規分布むずかしい

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.信頼区間ふつう

20 個からなる標本の平均は 59、標準偏差は s = 7 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 20x̄ = 59s = 799%t(19) = 2.861

下限 =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 22 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 22E = 2.595%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 16 人の標本の平均点は 43、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 43s = 20n = 16

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 1.5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.01検出力 = 80%δ = 1.5σ = 10z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (5.5, 17) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(5.5, 17)

e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 15.8

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 215/6 = 35.83

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−15.83)² + (−5.833)² + 11.17² + 2.167² + 24.17² + (−15.83)² = 1249

標準偏差

s = √(1249/5) = 15.8

答え

s = 15.8

2.記述統計

答え: z = 1.5

標準化する

z = (92.5 − 70)/15 = 1.5

答え

z = 1.5

3.確率

答え: P = 0.4667

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0.4667

答え

P = 0.4667

4.確率

答え: P = 0.7748

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.9⁹ = 0.3874

P(X = 1) = 9·0.1·0.9⁸ = 0.3874

足し合わせる

P = 0.3874 + 0.3874 = 0.7748

答え

P = 0.7748

5.正規分布

答え: z = 1.38

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.8324)/2 = 0.9162

z 表を逆に読む

表の中で 0.9162 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.38

答え

z = 1.38

6.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

7.信頼区間

答え: 下限 = 54.52

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 19, t = 2.861

誤差の幅

E = 2.861·7/√20 = 4.478

区間

59 ± 4.478 → [54.52, 63.48]

答え

下限 = 54.52

8.信頼区間

答え: n = 298

n について解く

n = (1.96·22/2.5)² = 297.5

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 298

答え

n = 298

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

検定統計量

t = (43 − 50)/5 = −1.4

答え

t = −1.4

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 447

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((2.326 + 0.842)·10/1.5)² = 446.1

切り上げる

n = 447

答え

n = 447

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9896

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 89/5 = 17.8

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 444.8

相関係数

r = 132/√(40·444.8) = 0.9896

答え

r = 0.9896

12.線形回帰と相関

答え: e = 4.676

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 100/6 = 16.67

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38

回帰直線

b = −38/17.5 = −2.171

a = 16.67 − (−2.171)·3.5 = 24.27

ŷ = 24.27 − 2.171·x

予測値

ŷ = 24.27 + (−2.171)·5.5 = 12.32

残差

e = 17 − 12.32 = 4.676

答え

e = 4.676

点は直線より上にあります。

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